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Cálculo integral

Curso: Cálculo integral > Unidad 1

Lección 5: Definir integrales con sumas de Riemann

La integral definida como el límite de una suma de Riemann

Las sumas de Riemann nos ayudan a aproximar integrales definidas, y también nos ayudan a definirlas formalmente. Aprende cómo se logra esto y cómo podemos movernos entre la representación del área como integral definida y como suma de Riemann.

Las integrales definidas representan el área bajo la curva de una función, y las sumas de Riemann nos ayudan a aproximar esas áreas. La pregunta es: ¿hay una manera de encontrar el valor exacto de una integral definida?

Sumas de Riemann con un número "infinito" de rectángulos

Imagina que queremos encontrar el área bajo la gráfica de

f (x) = \frac{1}{5} x^{2}

entre

x = 2

x = 6

Usando la notación de integral definida, podemos representar el área exacta como:

\int_{2}^{6} \frac{1}{5} x^{2} d x

Podemos aproximar esta área mediante sumas de Riemann. Sea

R (n)

la aproximación por suma de Riemann derecha con

n

subdivisiones (es decir,

n

rectángulos de ancho igual).

Por ejemplo, la gráfica muestra

R (4)

. Puedes observar que es una sobrestimación del área real.

Podemos mejorar nuestra aproximación al dividir nuestra área en más rectángulos con bases menores, es decir, al usar

R (n)

con valores mayores de

n

Puedes observar cómo la aproximación se acerca más al área real conforme el número de rectángulos va de

1

100

Por supuesto, usar aún más rectángulos nos acercará aún más, pero una aproximación siempre es solo una aproximación.

¿Qué tal que pudiéramos considerar una suma de Riemann con un número infinito de subdivisiones iguales? ¿Acaso es eso posible? Bueno, no podemos tomar

n = \infty

porque el infinito no es un número, pero tal vez recuerdes que tenemos una forma de llevar algo a infinito...

¡Límites!

Específicamente, este límite:

lim_{n \to \infty} R (n)

Hecho increíble #1: este límite realmente nos da el valor exacto de

\int_{2}^{6} \frac{1}{5} x^{2} d x

Hecho increíble #2: no importa si consideramos el límite de una suma de Riemann derecha, de una suma de Riemann izquierda o de cualquier otra aproximación común. En infinito, siempre obtendremos el valor exacto de la integral definida.

(La prueba rigurosa de estos hechos es demasiado elaborada para cubrir en este artículo, pero esto no es un problema; solo estamos interesados en la intuición detrás de la conexión entre las sumas de Riemann y las integrales definidas).

Hasta ahora hemos usado

R (n)

como una abreviación de la aproximación por suma de Riemann derecha con

n

subdivisiones. Ahora, encontremos la expresión real.

Repaso rápido: buscamos

Δ x

, la longitud constante de la

base

de cada rectángulo, y

x_{i}

, el valor en

x

del extremo derecho del

i .^{o}

rectángulo. Entonces,

f (x_{i})

nos dará la

altura

de cada rectángulo.

\begin{aligned} Δ x & = \frac{6 - 2}{n} = \frac{4}{n} \\ x_{i} & = 2 + Δ x \cdot i = 2 + \frac{4}{n} i \\ f (x_{i}) & = \frac{1}{5} (x_{i})^{2} = \frac{1}{5} {(2 + \frac{4}{n} i)}^{2} \end{aligned}

Por lo que el área del

i .^{o}

rectángulo es

\frac{4}{n} \cdot \frac{1}{5} {(2 + \frac{4}{n} i)}^{2}

, y sumamos esa expresión para valores de

i

1

n

R (n) = \sum_{i = 1}^{n} {(2 + \frac{4 i}{n})}^{2} \cdot \frac{4}{5 n}

Ahora podemos representar el área real como un límite:

\begin{aligned} \int_{2}^{6} \frac{1}{5} x^{2} d x \\ = lim_{n \to \infty} R (n) \\ = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} {(2 + \frac{4 i}{n})}^{2} \cdot \frac{4}{5 n} \end{aligned}

Por definición, la integral definida es el límite de la suma de Riemann

El ejemplo anterior es un caso específico de la definición general de una integral definida:

La integral definida de una función continua

f

en el intervalo

[a, b]

, denotada por

\int_{a}^{b} f (x) d x

, es igual al límite de una suma de Riemann conforme el número de subdivisiones tiende a infinito. Es decir,

\int_{a}^{b} f (x) d x = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} Δ x \cdot f (x_{i})

donde

Δ x = \frac{b - a}{n}

x_{i} = a + Δ x \cdot i

Si nos piden escribir una suma de Riemann de su integral definida...

Imagina que nos han pedido escribir la siguiente integral definida como el límite de una suma de Riemann.

\int_{π}^{2 π} \cos (x) d x

Primero, encontremos

Δ x

\begin{aligned} Δ x & = \frac{b - a}{n} \\ = \frac{2 π - π}{n} \\ = \frac{π}{n} \end{aligned}

Ahora que tenemos

Δ x

, podemos encontrar

x_{i}

\begin{aligned} x_{i} & = a + Δ x \cdot i \\ = π + \frac{π}{n} \cdot i \\ = π + \frac{π i}{n} \end{aligned}

Por lo tanto,

\int_{π}^{2 π} \cos (x) d x = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \frac{π}{n} \cdot \cos (π + \frac{π i}{n})

Practica escribir sumas de Riemann a partir de integrales definidas

Problema 1

\int_{0}^{3} e^{x} d x = ?

Problema 2

\int_{1}^{e} \ln x d x = ?

Error común: obtener la expresión equivocada para $Δ x$ ‍

Por ejemplo, en el problema 2, podemos imaginar cómo un estudiante podría definir

Δ x

como

\frac{e}{n}

\frac{1}{n}

, en vez de

\frac{e - 1}{n}

. Otro ejemplo es usar simplemente

d x

como

Δ x

. Recuerda que

d x

solo se usa en la notación integral, no en la suma. Nos dicen que la integración es con respecto a

x

Otro error común: obtener la expresión equivocada para $x_{i}$ ‍

Un estudiante puede olvidar sumar

a

Δ x \cdot i

, lo que resulta en una expresión incorrecta. Por ejemplo, en el problema 2, un estudiante podría definir

x_{i}

como

\frac{e - 1}{n} \cdot i

en vez de

1 + \frac{e - 1}{n} \cdot i

Si nos piden escribir una integral definida a partir del límite de una suma de Riemann...

Imagina que nos piden encontrar una integral definida que es equivalente a este límite:

lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \ln (2 + \frac{5 i}{n}) \cdot \frac{5}{n}

Esto significa que necesitamos encontrar el límite de integración

[a, b]

y el integrando

f (x)

. Entonces, la integral definida correspondiente será

\int_{a}^{b} f (x) d x

Sabemos que cada suma de Riemann tiene dos partes: una longitud

Δ x

y una altura

f (x_{i})

para cada rectángulo de la suma. Para este límite específico, podemos hacer elecciones razonables para ambas partes.

lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \ln (2 + \frac{5 i}{n}) \cdot \frac{5}{n}

Rectángulos de longitud uniforme: la expresión

\frac{5}{n}

es una elección razonable para la longitud de nuestros rectángulos,

Δ x

, porque no depende del índice

i

. Esto significa que

Δ x

será igual para cada término en la suma, que es lo que esperaríamos de una suma de Riemann en la que cada rectángulo tiene la misma longitud.

Rectángulos de altura variable: la expresión

\ln (2 + \frac{5 i}{n})

depende de

i

, lo que la hace una buena elección para representar la altura,

f (x_{i})

. La elección más natural para

x_{i}

2 + \frac{5 i}{n}

, así que hagámolsa, y entonces la función que estamos integrando es

f (x) = \ln (x)

Para determinar los límites de integración,

a

b

, pensemos en las definiciones generales de

Δ x

x_{i}

en relación a la integral definida.

Como se define arriba,

x_{i} = a + Δ x \cdot i

. En este problema específico,

x_{i} = 2 + \frac{5 i}{n}

, que puede escribirse como

2 + \frac{5}{n} i

, por lo que

a

debe ser igual a

2

Como se define abajo,

Δ x = \frac{b - a}{n}

. En este problema específico,

Δ x = \frac{5}{n}

. Ambos denominadores son iguales a

n

, por los que los denominadores deben ser iguales:

b - a = 5

. Sabemos que

a = 2

, por lo que concluimos que

b = 7

Si lo juntamos todo, esta es una integral definida que es igual al límite de la suma de Riemann:

\int_{2}^{7} \ln (x) d x

Practica escribir integrales definidas a partir de sumas de Riemann

Problema 3.A

El conjunto de problemas 3 te guiará por los pasos de encontrar la integral definida que está representada por esta expresión:

lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} {(3 + \frac{4 i}{n})}^{2} \cdot \frac{4}{n}

¿Cuál es $Δ x$ ‍ en esta expresión?

Problema común: dificultad para encontrar $Δ x$ ‍ en la expresión de la suma de Riemann

Cuando la expresión a sumar es elaborada e incluye muchas fracciones, puede ser difícil identificar qué parte de ella es

Δ x

Recuerda que $Δ x$ ‍ debe ser un factor de la expresión a sumar, de la forma $\frac{k}{n}$ ‍, donde $k$ ‍ no contiene el índice $i$ ‍ de la suma.

Otro problema común: dificultad para encontrar los límites de integración

Observa cómo en el conjunto de problemas 3,

Δ x = \frac{4}{n}

quiso decir que

b - a = 4

. Esto es útil, pero sin determinar

a

no sabremos los valores de

a

b

. Fuimos capaces de encontrar

a

utilizando el hecho de que

x_{i} = 3 + \frac{4 i}{n}

Un error común es suponer inmediatamente que si, por ejemplo, $Δ x = \frac{4}{n}$ ‍, entonces los límites de integración son $[0, 4]$ ‍.

Un último problema común: dificultad general para analizar la expresión

Algunos estudiantes simplemente no saben por dónde empezar.

Comienza con la expresión a sumar. Debes ser capaz de identificar dos factores: uno de la forma $\frac{k}{n}$ ‍ (donde $k$ ‍ no contiene el índice $i$ ‍ de la suma) y otro que es función de $i$ ‍. El primero te dará $Δ x$ ‍, y el segundo, $f (x_{i})$ ‍.

Problema 4

lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{4 + \frac{5 i}{n}} \cdot \frac{5}{n} = ?

¿Quieres más práctica? Intenta este ejercicio.

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Daniel García
Publicado hace hace 4 años. Enlace directo a la publicación “Me confunde esta parte: "...” de Daniel García
Me confunde esta parte: "Ambos denominadores son iguales a n, por los que los denominadores deben ser iguales: b-a=5"
No sé si la segunda vez que dice "denominadores" debería decir numeradores o tal vez no he comprendido muy bien el texto.
Botón que navega a la página de registroComentar en la publicación “Me confunde esta parte: "...” de Daniel García
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Paulo Puente - 106 -RED
Publicado hace hace un año. Enlace directo a la publicación “gracias por la esplicacio...” de Paulo Puente - 106 -RED
gracias por la esplicacion
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