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Ejemplo resuelto: volver a escribir el límite de una suma de Riemann como una integral definida.

Transcripción del video

aquí tenemos una suma de riman con el límite cuando n tiende a infinito y el objetivo de este vídeo es ver si podemos reescribir esto como una integral definida los invito a que pausa en el vídeo y tratan de resolver esto por su cuenta recordemos como una integral definida se relaciona con una suma de riman tengo la integral definida de a a b de fx de x y como ya hemos visto en otros vídeos esto es igual al límite cuando n tiende a infinito de la suma con sigma mayúscula que va desde igual a uno hasta n esencialmente vamos a sumar las áreas de muchos rectángulos donde la base de estos rectángulos que escribimos como delta x y la altura será el valor de la función f x evaluada en algún lugar de esa delta x cuando hacemos una suma de riman por la derecha el valor que usaremos aquí será la altura del lado derecho de este rectángulo así que comenzamos en el límite inferior a y sumamos tantas delta x como especifica nuestro índice y es igual a 1 entonces sumamos una delta x estaremos en el lado derecho del primer rectángulo si y es igual a 2 entonces sumaremos 2 delta x y así sucesivamente lo de aquí queda como delta x por el índice y esta es la forma general que habíamos con anterioridad una posibilidad es intentar reconocer un patrón aquí nuestra función luce como la función logaritmo natural esto sería nuestra fx lo escribimos fx es igual a logaritmo natural de x que más encontramos a luce como 2 y cuál será nuestra delta x vemos esto que está multiplicando y que está dividido entre n y que no está siendo x y luce como nuestra delta x y esto de aquí luce como delta x x y así que nuestra delta x es igual a 5 / n podemos decir que esto es igual a la integral definida de conocemos el límite de integración inferior que es 2 pero aún no conocemos el límite de integración superior de nuestra función es el logaritmo natural de x y aquí al final escribimos de equis para terminar de escribir esta integral definida necesitamos encontrar el límite superior y la forma de encontrar el límite superior es analizando nuestra delta x la forma en la que definimos esta delta x en esta suma de ruymán es la diferencia entre nuestros límites de integración dividida entre las secciones que queremos tener que es n así que esto es igual a b menos a entre n aquí reemplazamos lo que conocemos esto es delta x así que aquí escribimos b menos a que sabemos es 2 entre n b menos dos es igual a 5 por lo que ve es 7 ahora si ya encontramos el límite superior de la integral que es 7 y ya tenemos nuestra suma de riman reescrita como una integral definida nuevamente quiero hacer énfasis en porque esto tiene sentido si gráfica mos esto luciría así vamos a hacerlo a mano esto de aquí es uno y vamos de 2 a 7 aunque no es algo exacto la integral definida es el área bajo la curva entre 2 y 7 podemos ver la suma de riman como una aproximación cuando n no tiende a infinito pero cuando decimos y es igual a 1 el primer rectángulo tendrá una base de 5 entre n así que decimos que la diferencia entre 2 y 7 esta distancia de 5 la dividimos entre n rectángulos el primer rectángulo tiene una base de 5 entre m y cuál será la altura como es una suma de riman por la derecha usaremos el valor de la función justo aquí en 25 entre n este valor de aquí es el logaritmo natural de 25 entre m y como es nuestro primer rectángulo lo multiplicamos por 1 continuamos haciendo esto el segundo rectángulo tiene una base igual de 5 entre n pero la altura será el logaritmo natural de 2 + 5 / n x 2 esto es para cuando y es igual a 2 el anterior es para cuando y es igual a 1 espero que con esto ustedes vean que tiene sentido el área del primer rectángulo es el logaritmo natural de 2 + 5 / n x 1 x 5 / m el área del segundo rectángulo es el logaritmo natural de dos más 5 x 2 / n x 5 / m y todo esto está calculando la suma del área de todos estos rectángulos pero está tomando el límite cuando n se aproxima a infinito por lo que tendremos una mejor aproximación cada vez para calcular el área exacta