Repasa tus conocimientos de integrales impropias.

¿Qué son las integrales impropias?

Las integrales impropias son integrales definidas que cubren un área no acotada.
Un tipo de integrales impropias son las aquellas en las que al menos uno de los puntos extremos se extiende al infinito. Por ejemplo, 11x2dx\displaystyle\int_1^\infty \dfrac{1}{x^2}\,dx es una integral impropia. Se puede ver como el límite limb1b1x2dx\displaystyle\lim_{b\to\infty}\int_1^b\dfrac{1}{x^2}\,dx.
Otro tipo de integrales impropias son las integrales cuyos puntos extremos son finitos, pero la función integrada no está acotada en uno o los dos extremos. Por ejemplo, 011xdx\displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{\sqrt x}\,dx es una integral impropia. Se puede ver como el límite lima0+a11xdx\displaystyle\lim_{a\to0^+}\int_a^1\dfrac{1}{\sqrt x}\,dx.
¿Un área no acotada que no es infinita? ¡¿Es en serio?! Pues, ¡sí! No todas las integrales impropias tienen un valor finito, pero algunas sí lo tienen. Cuando el límite existe decimos que la integral es convergente, y cuando no decimos que es divergente.
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Conjunto de práctica 1: evaluar integrales impropias con extremos no acotados

Evaluemos, por ejemplo, la integral impropia 11x2dx\displaystyle\int_1^\infty \dfrac{1}{x^2}\,dx. Como se mencionó anteriormente, es útil ver esta integral como el límite limb1b1x2dx\displaystyle\lim_{b\to\infty}\int_1^b\dfrac{1}{x^2}\,dx. Podemos usar el teorema fundamental del cálculo para encontrar una expresión para la integral:
1b1x2dx=1bx2dx=[x11]1b=[1x]1b=1b(11)=11b\begin{aligned} \displaystyle\int_1^b\dfrac{1}{x^2}\,dx&=\displaystyle\int_1^b x^{-2}\,dx \\\\ &=\left[\dfrac{x^{-1}}{-1}\right]_1^b \\\\ &=\left[-\dfrac{1}{x}\right]_1^b \\\\ &=-\dfrac{1}{b}-\left(-\dfrac{1}{1}\right) \\\\ &=1-\dfrac{1}{b} \end{aligned}
Ahora nos deshacemos de la integral y tenemos un límite por determinar:
limb1b1x2dx=limb(11b)=10=1\begin{aligned} \displaystyle\lim_{b\to\infty}\int_1^b\dfrac{1}{x^2}\,dx&=\displaystyle\lim_{b\to\infty}\left(1-\dfrac{1}{b}\right) \\\\ &=1-0 \\\\ &=1 \end{aligned}
Problema 1.1
11x3dx=?\displaystyle\int_{1}^{\infty}\dfrac{1}{x^3}\,dx=?
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Conjunto de práctica 2: evaluar intergrales impropias con una función no acotada

Evaluemos por ejemplo, por ejemplo, la integral impropia 011xdx\displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{\sqrt x}\,dx. Como se mencionó arriba, es útil ver esta integral como el límite lima0a11xdx\displaystyle\lim_{a\to 0}\int_a^1\dfrac{1}{\sqrt x}\,dx. De nuevo, usamos el teorema fundamental del cálculo para encontrar una expresión para la integral:
a11xdx=a1x12dx=[x1212]a1=[2x]a1=212a=22a\begin{aligned} \displaystyle\int_a^1\dfrac{1}{\sqrt x}\,dx&=\displaystyle\int_a^1 x^{^{\large -\frac{1}{2}}}\,dx \\\\ &=\left[\dfrac{x^{^{\large\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2}}\right]_a^1 \\\\ &=\Bigl[2\sqrt x\Bigr]_a^1 \\\\ &=2\sqrt 1-2\sqrt a \\\\ &=2-2\sqrt a \end{aligned}
Ahora nos deshacemos de la integral y tenemos un límite por determinar:
lima0a11xdx=lima0(22a)=220=2\begin{aligned} \displaystyle\lim_{a\to 0}\int_a^1\dfrac{1}{\sqrt x}\,dx&=\displaystyle\lim_{a\to 0}(2-2\sqrt a) \\\\ &=2-2\cdot 0 \\\\ &=2 \end{aligned}
Problema 2.1
081x3dx=?\displaystyle\int_{0}^{8}\dfrac{1}{\sqrt[\large 3]{x}}\,dx =?
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