Repaso de integrales impropias

Las integrales impropias son integrales definidas que cubren un área no acotada.

Un tipo de integrales impropias son las aquellas en las que al menos uno de los puntos extremos se extiende al infinito. Por ejemplo, $\displaystyle\int_1^\infty \dfrac{1}{x^2}\,dx$integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, infinity, end superscript, start fraction, 1, divided by, x, squared, end fraction, d, x es una integral impropia. Se puede ver como el límite $\displaystyle\lim_{b\to\infty}\int_1^b\dfrac{1}{x^2}\,dx$limit, start subscript, b, \to, infinity, end subscript, integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, b, end superscript, start fraction, 1, divided by, x, squared, end fraction, d, x.

Otro tipo de integrales impropias son las integrales cuyos puntos extremos son finitos, pero la función integrada no está acotada en uno o los dos extremos. Por ejemplo, $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{\sqrt x}\,dx$integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 1, end superscript, start fraction, 1, divided by, square root of, x, end square root, end fraction, d, x es una integral impropia. Se puede ver como el límite $\displaystyle\lim_{a\to0^+}\int_a^1\dfrac{1}{\sqrt x}\,dx$limit, start subscript, a, \to, 0, start superscript, plus, end superscript, end subscript, integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, 1, end superscript, start fraction, 1, divided by, square root of, x, end square root, end fraction, d, x.

¿Un área no acotada que no es infinita? ¡¿Es en serio?! Pues, ¡sí! No todas las integrales impropias tienen un valor finito, pero algunas sí lo tienen. Cuando el límite existe decimos que la integral es convergente, y cuando no decimos que es divergente.

Evaluemos, por ejemplo, la integral impropia $\displaystyle\int_1^\infty \dfrac{1}{x^2}\,dx$integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, infinity, end superscript, start fraction, 1, divided by, x, squared, end fraction, d, x. Como se mencionó anteriormente, es útil ver esta integral como el límite $\displaystyle\lim_{b\to\infty}\int_1^b\dfrac{1}{x^2}\,dx$limit, start subscript, b, \to, infinity, end subscript, integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, b, end superscript, start fraction, 1, divided by, x, squared, end fraction, d, x. Podemos usar el teorema fundamental del cálculo para encontrar una expresión para la integral:

Ahora nos deshacemos de la integral y tenemos un límite por determinar:

Evaluemos por ejemplo, por ejemplo, la integral impropia $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{\sqrt x}\,dx$integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 1, end superscript, start fraction, 1, divided by, square root of, x, end square root, end fraction, d, x. Como se mencionó arriba, es útil ver esta integral como el límite $\displaystyle\lim_{a\to 0}\int_a^1\dfrac{1}{\sqrt x}\,dx$limit, start subscript, a, \to, 0, end subscript, integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, 1, end superscript, start fraction, 1, divided by, square root of, x, end square root, end fraction, d, x. De nuevo, usamos el teorema fundamental del cálculo para encontrar una expresión para la integral:

Ahora nos deshacemos de la integral y tenemos un límite por determinar: