Integral impropia con ambos límites de integración infinitos

aquí tenemos la gráfica de la función igual a 250 sobre 25 más equis cuadrada y lo que nos interesa es calcular el área de todo todo esto que estoy sombreando inclusive lo que no se ve extendiéndose hacia la derecha para los dispositivos de xy hacia la izquierda para valores negativos de x estamos hablando entonces de valores de x que van desde menos infinito hasta más infinito para empezar como denotamos esto bueno va a ser la integral impropia la integral impropia que va desde menos infinito hasta más infinito de la función 250 sobre 25 más x cuadrada de x ahora ya hemos visto integrales y propias donde uno de los límites va a infinito pero qué haces cuando tienes que el límite superior es infinito y el límite inferior es menos infinito no se puede tomar un límite hacia dos valores la manera de atacar este problema es encontrar el área la región que nos interesa a través de dos integrales impropias una entrega la propia base de esta para encontrar el área de la región que estoy marcando aquí en azul es la integral impropia desde menos infinito a 0 va a ser igual entonces la integral de menos infinito a 0 de la función 250 sobre 25 más x cuadrada de x y la otra integral impropia la integral desde cero a infinito de la función más la integral de 0 a infinito de 250 sobre 25 más x cuadrada x ahora ya podemos calcular cada una de estas integrales impropias la primera en azul va a ser igual al límite cuando n tiende a menos infinito de la integral de n a 0 de 250 sobre 25 más x cuadrada de x más de aquí me estoy empezando a quedar sin espacio más el límite aquí voy a usar en mi aquí el límite cuando m tiende a infinito del integral de 0 a m de 250 sobre 25 más x cuadrada de x y ahora lo que tenemos que hacer es evaluar estas integrales definidas y para eso tenemos que encontrar la anti derivada de 250 sobre 25 más x cuadrada calculemos entonces esas anti derivadas lo voy a hacer aquí de lado izquierda calculemos entonces la anti derivada de 250 sobre 25 más x cuadrada de x la forma el integrando nos recuerda una sustitución trigonométricas de la forma de x sobre a cuadrada más x cuadrada donde a cuadrado es igual a 25 entonces vamos a hacer la sustitución x es igual a 5 tangente de teta y luego haremos la sustitución inversa y a partir de aquí obtenemos entonces que x sobre 5 es igual a tangente de teta dividimos entre 5 ambos lados vamos a despejar teta aquí obtenemos entonces que teta es igual al arco cuya tangente es x sobre 5 de tal manera que esto de aquí es consistente con esto si x es igual a 5 tangente de tête à tête es igual arco cuya tangentes x sobre 5 hagamos ahora la sustitución de hecho primero tenemos que calcular de x tx vamos a ponerlo por acá para ponerlo mejor acá abajo de x es igual derivó 5 tangente de 35 secante cuadrada de teta de t está muy bien ya estamos completos para hacer la sustitución vamos a sustituir 250 de x 250 x de x sería 250 por 5 secante cuadra de teta por 5 sec anticuada de teta de teta ese es nuestro denominador el cual está dividido entre 25 más x cuadrada x es igual a 5 tangente de tete elevando al cuadrado es 25 tangente cuadrada de teta simplifiquemos el integrando esto es igual a la integral de 250 por 5 secante cuadrada de teta sobre 25 que multiplica a 1 + tangente cuadrada de teta de teta podemos simplificar estos 250 entre 25 10 y aquí tenemos una tangente cuadra de teta que es secante cuadra de teta esto lo puedes verificar directamente sustituyendo tangente cuadra detecta como seno cuadra de teta sobre cose no cuadra de te está escribiendo uno como coseno cuadra de teta sobre coseno wade te está haciendo la suma entidades trigonométricas fáciles va a saber que esto es secante cuadra de teta esto es entonces secante cuadra de teta tenemos entonces secante quad ett en el denominador y secante cuadra desde el numerador se simplifican dándonos uno al final de cuentas esta integral es simplemente 10 por 5 que 50 voy a sacar el 50 del integral 50 integral de dt está resolviendo este integral nos da 50 teta más se eso si queremos la anti derivada general sin embargo con una anti derivada particular nos basta pues la vamos a sustituir en estas integrales definidas que tenemos acá pero bueno este es el resultado de la anti derivada general ahora vamos a sustituir lo que éste está aquí tenemos que tener arco cuya tangentes x sobre 5 así es que esto va a ser 50 por arco cuya tangente x sobre 5 + c estas son todas las anti derivadas podemos escoger se iguala 0 para sustituirla en estas integrales definidas hagamos eso lo que tenemos en azul lo podemos describir como el límite cuando n tiende a menos infinito de la anti derivada una anti derivada de esta función que es 50 arco tangente de x sobre 5 y esto evaluado desde n hasta 0 a eso le agregamos más el límite cuando m tiene infinito de 50 una anti derivada de la función que es 50 arco tangente arco novak o arco a arco tangente de x sobre 5 y esto evaluado de 0 m de 0 m deja de poner un paréntesis aquí para darle más claridad a la expresión y esto que va a ser igual esto es igual al límite cuando n tiende a menos infinito de 50 arco tangente de 0 sobre 5 menos 50 arco tangente de n sobre 5 este es el primer límite a eso le vamos a sumar más vamos a hacernos un poco hacia la derecha límite cuando m tiende infinito de 50 algo tangente de m sobre 5 menos 50 arco tangente de 0 sobre 5 creo que ya te das cuenta hacia dónde vamos vamos a evaluar esto y para evaluar esto vamos a dibujar un círculo unitario para poder visualizar la función arco tangente la tangente la tangente de un ángulo teta va a corresponder a la pendiente del lado terminal que describe el ángulo teta veamos un ejemplo si éste es mi lado terminal este es mi ángulo theta con respecto a la parte positiva el eje x la tangente va a ser la pendiente de esta línea que es el lado terminal esa va a ser la tangente de teta así que una manera de calcular esto es si yo quiero el arco tangente de cero necesito encontrar entonces el ángulo cuyo lado terminal es una línea con pendiente cero y ese ángulo es cero radiales así que el arco tangente de 0 sobre 5 es 0 50 por 0 este término se va a cero y también este término que tenemos acá va a ser cero que nos queda entonces nos queda el límite el límite cuando n tiende a menos infinito de menos 50 arco tangente de n sobre 5 y eso más más el límite cuando m tiende a infinito de 50 arco tangente de m sobre 5 y esto a cuánto va a ser calculemos el límite cuando n tiende a menos infinito bueno cuando n tiene menos infinito la pendiente de este lado terminal va a ser cada vez más negativa y cada vez más negativa aproximándose a la parte negativa del eje y la cual corresponde a un ángulo de teta igual a menos y sobre 2 radiales así que el límite cuando n tiende a menos infinito de arco tangente de n sobre 5 el límite cuando n tiende a menos infinito de algo tangente de n sobre 5 esto hemos visto que es menos y medios de tal manera que x menos 50 esto nos va a dar menos 50 x - y sobre dos y haciendo el producto obtenemos que esto va a ser igual esto va a ser igual a 25 y de manera análoga para calcular el límite cuando me tiende infinito de arco tangente de m sobre 5 aquí consideramos la dos terminales cuya pendiente es cada vez más grande positiva cada vez más grande esto se aproxima a la vertical a la parte positiva del eje y por lo que cuando m tiende infinito el arco cuya tangente es m sobre 5 se aproxima al ángulo theta igual a pi sobre dos radiales entonces este límite va a ser igual a 50 por pi sobre 2 haciendo el producto esto es igual a 25 y ya tenemos entonces el área de la región que tenemos aquí en azul es igual a 25 pi y el área de la región que tenemos de naranja es igual también a 25 pi entonces para responder a la pregunta original de cuál es el área bajo la curva con la cual era una pregunta bastante interesante sumamos el área de las dos regiones 25 más 25 y para obtener 50 y hemos concluido