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Integral impropia con ambos límites de integración infinitos

Transcripción del video

aquí tenemos la gráfica de la función ya iguala a 250 sobre 25 más x cuadrada y lo que nos interesa es calcular el área de todo todo esto que estoy sombreando inclusive lo que no se ve extendiéndonos hacia la derecha para los dispositivos de xy hacia la izquierda para valores negativos de x estamos hablando entonces de valores de x que van desde menos infinito hasta más infinito para empezar como denotamos esto bueno para serle integral impropia la integral y propia que va desde - infinito hasta más infinito de la función 250 sobre 25 más x cuadrada de x ahora ya hemos visto integrales y propias donde uno de los límites va a infinito pero qué haces cuando tienes que el límite superior es infinito y el límite inferior es menos infinito no se puede tomar un límite hacia los valores la manera de atacar este problema es encontrar el área la región que nos interesa a través de dos integrales y propios un integral y propia base de ésta para encontrar el área de la región que estoy marcando aquí en azul es la integral y propia desde - infinito a 0 va a ser igual entonces integral de menos infinito acero de la función 250 sobre 25 más x cuadrada de x y la otra integral y propia la integral desde cero al infinito de la función más la integral de cero al infinito de 250 sobre 25 más x cuadrada de x ahora ya podemos calcular cada una de estas integrales y propias la primera en azul va a ser igual al límite cuando n tiende a menos infinito de la integral de n acero de 250 sobre 25 más x cuadrada de x mas de quien está empezando a quedar sin espacio más el límite aquí al cn heme aquí el límite cuando m tiende a infinito del integral de cero aemme de 250 sobre 25 más x cuadrada de x y ahora lo que tenemos que hacer es evaluar estas integrales definidas y para eso tenemos que encontrarla anti derivada de 250 sobre 25 más x cuadrada calculemos entonces es anti derivadas lo voy a hacer aquí de la izquierda calculemos entonces la anti derivada de 250 sobre 25 más x cuadrada de x la forma e integrándonos recuerda una sustitución trigonométricas de la forma de equis o brea cuadrada más x cuadrada donde ha cuadrado es igual a 25 entonces vamos a hacer la sustitución x es igual a 5 tangente de teta y luego haremos la sustitución y verza y a partir de aquí obtenemos entonces que x sobre 5 es igual la tangente beteta dividimos en 35 ambos lados vamos a despejar tetaki obtenemos entonces que te está es igual al arco cuya tangentes x sobre 5 de tal manera que estoy aquí es consistente con esto si x es igual a 5 tangente de tête à tête es igual arco cuya tangentes x sobre 5 hagamos ahora la sustitución de hecho primero tenemos que calcular de x x vamos a ponerlo por acá a poner lo mejor aquí abajo dx es igual de vigo 5 tangente de 35 secante cuadrada de teta dt está muy bien ya estamos completos para hacer la sustitución vamos a sustituir 250 de x 250 por de x sería 250 por cinco secante quade teta por cinco secante quade teta de teta ese es nuestro denominador el cual está dividido entre 25 más x cuadrada x es igual la 5ta gente te está llevando al cuadrado es 25 tangente cuadrada de teta simplifiquemos el integrando esto es igual a la integral de 250 por cinco secante cuadrada de teta sobre 25 que multiplica a uno más a gente cuadra de teta de teta podemos simplificar estos 250 entre 25 es 10 y aquí tenemos uno más tangente cuando detecta que se cante cuadra de teta esto lo puedes verificar directamente sustituyendo tangente cuando detecta cómo se enojó a beteta sobrecoste no cuadra dt está escribiendo uno como cocina o cuando eta sobre consenso cuando éste está haciendo la suma entidad destinó métricas fáciles para saber que esto es seca antigua detecta esto es entonces se cante cuando eta tenemos entonces se cante quads el denominador y secante cohete el numerador se simplifican dándonos uno al final de cuentas es integral es simplemente 10 por 5 que 50 oa sacar el 50 del integral 50 integral dt está resolviendo este integral nos da 50 eta más sé eso sí queremos la anti derivada general sin embargo con una antidiva particular nos basta pues la vamos a sustituir en estas integrales definidas que tenemos acá pero bueno este es el resultado de la anti derivada general ahora vamos a sustituir lo que éste está aquí tenemos que tes arco cuya tangentes x sobre cinco así es que esto va a ser 50 por arco cuya tangente es x sobre cinco más se estas son todas las actividades podemos escoger se iguala 0 para sustituirla en estas integrales definidas hagamos eso lo que tenemos en azul lo podemos describir como el límite cuando n tiende a menos infinito de anti derivada un anti derivada de esta función que es 50 arco tangente dx sobre 5 y está evaluado desde n hasta 0 a eso le agregamos más el límite cuando m infinito de 50 una deriva de la función que es 50 arco tangente arco noacco arco a arco tangente de x sobre 5 y está evaluado de cero a m 30 m deja de poner un paréntesis aquí para darle más claridad a la expresión y esto que va a ser igual esto es igual al límite cuando n tiende a menos infinito de 50 arco tangente de 0 sobre cinco menos 50 algo tan gente de n sobre 5 este es el primer límite a eso le vamos a sumar más vamos a hacernos un poco hacia la derecha límite cuando m tiene infinito de 50 arco tangente de m sobre 5 - cincuenta arco tangente de 0 sobre 5 creo que ya te das cuenta hacia dónde vamos vamos a evaluar esto y para evaluar esto vamos a dibujar un círculo unitario para poder visualizar la función algo tangente la tangente la tangente un ángulo teta va a corresponder a la pendiente del lado terminal que describe el ángulo teta veamos un ejemplo si éste es mi lado terminales ni ángulo teta con respecto a la parte positiva el eje x la tangente va a ser la pendiente de esta línea que es el lado terminal esa va a ser la tangente de teta así que una manera de calcular esto es si yo quiero el arco tangente de cero necesito encontrar entonces el ángulo cuyo lado terminal es una línea con pendiente cero y ese ángulo es cero radiales así que el arco tangente 0 sobre 50 50 x 0 este término se va 0 y también este término que tenemos acá hacer 0 que nos queda entonces nos queda el límite el límite cuando n tiende a menos infinito de -50 arco tangente de n sobre 5 y eso más más el límite cuando m tiene infinito de 50 arco tangente de m sobre 5 y esto a cuánto va a ser calculemos el límite cuando entiende menos infinito bueno cuando se tiene un súbdito la pendiente de este lado terminal va a ser cada vez más negativa y cada vez más negativa aproximándose a la parte negativa del eje la cual corresponde a un ángulo de eta igual a menos y sobre dos radiales así que el límite cuando entiende menos infinito de arco tangente dn sobre 5 el límite cuando entiende menos infinito de algo tan gente de mes sobre 5 esto hemos visto que es menos pyme dios de tal manera que x menos 50 esto nos va a dar menos 50 x men hospi sobre dos y haciendo el producto obtenemos que esto va a ser igual esto va a ser igual a 25 si de manera análoga para calcular el límite cuando me tiende a infinito de arcot agente de mes sobre 5 aquí consideramos las dos terminales cuya pendiente es cada vez más grande positiva cada vez más grande esto se aproxima la vertical a la parte positiva de ley e por lo que cuando m tiene infinito el arco cuya tangentes m sobre 5 se aproxima al ángulo teta iguala piso de dos radiales entonces este límite va a ser igual al 50 por ti sobre dos haciendo el producto esto es igual a 25 si ya tenemos entonces que el área de la región que tenemos aquí en azul es igual a 25 pig y el área de la región que tenemos en naranja igual también a 25 pi entonces para responder la pregunta original de cuál es el área bajo la curva la cual era una pregunta bastante interesante sumamos el área las dos regiones 25 pimas 25 pipa obtener 50 pin y hemos concluido