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Introducción a las integrales impropias

Transcripción del video

lo que quiero calcular en este vídeo es el área debajo de la curva ya igual a 1 / x cuadrada desde que x es igual a 1 el límite inferior es x que es igual a 1 y permitiendo que x crezca indefinidamente es decir cuando x tiende a infinito así que lo que quiero calcular es el valor total de esta área y para calcular esto vamos a establecer una integral y propia un integral impropia cuyo límite inferior es uno y como x crecer indefinidamente su límite superior es infinito e integral de un infinito de la función 1 / x cuadrada de x hagamos patente esto esté aquí es una integral integral impropia un integral impropia y como la calculamos bueno por definición esto es igual al límite al límite cuando n tiene infinito del integral de uno hasta n de 1 / x cuadrada de x lo cual está perfecto ya sabemos cómo evaluar esto es un integral definida con el límite superior o igual a n y sabemos también calcular límites tomamos el límite cuando no tiene infinito calculemos entonces estoy aquí vamos a aplicar el segundo tema fundamental del cálculo es decir tenemos que calcular primero la anti derivada de 1 / x cuadrada bueno escribamos primero el límite límite cuando el cne tiene finito de y ahora sí vamos a aplicar el segundo tema fundamental del cálculo a la deriva de una entre x cuadrada y derivada de x al menos dos es menos x a la menos uno entonces esto hace de límite cuando entiende infinito de - x a la menos uno o mejor vamos a escribirlo como menos uno sobre x menos uno sobre x evaluada nn y evaluada en uno y esto va a ser igual entonces esto es igual al límite cuando n quien infinito vamos a evaluar la anti derivada en los límites integración tenemos que menos un entre x evaluado en n es menos uno sobre n esto - lo que resulte evaluar el límite inferior menos uno / x evaluado en uno es menos uno muy bien vamos ahora a tomar el límite esto que tenemos aquí no hemos tomado el límite pues esta expresión es lo mismo que esta expresión vamos ahora a tomar el límite esto va a ser igual al límite cuando n tiene finito y que tenemos aquí aquí tenemos menos y menos nos da más entonces es menos uno entrene más uno lo cual podemos escribir como 1 - un entreno y ahora sí vamos a tomar el límite el límite cuando no tiene definido esta expresión existe para nuestra fortuna aquí tenemos uno / n cuando en es cada vez más grande un entrene se hace cada vez más chico el límite cuando no tiene infinito de un tren es igual a cero por lo cual el límite toda la expresión es igual a uno lo cual es realmente sorprendente tenemos esta región que no tiene límite superior se extienda indefinidamente hacia la derecha mientras que hemos encontrado que el valor del área de la región es exactamente igual es precisamente igual a 1 en este caso dado que la integran y propia resultó en un número tuvo un valor precisó pudimos encontrar el límite cuando n tiene infinito decimos que está integral eso integral y propia convergente integral impropia con ver gente si por alguna razón esto no estuviera acotado no podíamos encontrar un valor finito de este límite diríamos que la integran y propia es divergente pero en este caso encontramos algo sorprendente esta área vale exactamente 1