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Curso: Cálculo integral > Unidad 1
Lección 1: Introducción a las acumulaciones de cambioExploración de acumulaciones de cambio
Google ClassroomLas integrales definidas se interpretan como la acumulación de cantidades. Aprende por qué esto es así y cómo puede usarse este hecho para analizar contextos de la vida real.
La integral definida puede usarse para expresar información sobre la acumulación y el cambio neto en contextos aplicados. Veamos cómo.
Pensar sobre acumulación en un contexto del mundo real
Digamos que un tanque se llena de agua a una razón constante de
Ahora considera este caso gráficamente. La razón puede representarse por la función constante
Cada unidad horizontal en esta gráfica se mide en minutos y cada unidad vertical se mide en litros por minuto, por lo que el área de cada unidad cuadrada se mide en litros:
Más aún, el área del rectángulo acotado por la gráfica de
Digamos ahora que otro tanque se llena, pero esta vez la razón no es constante:
¿Cómo podemos determinar el volumen de agua en este tanque después de
Vimos cómo cada rectángulo representa un volumen en litros. Específicamente, cada rectángulo en esta suma de Riemann es una aproximación del volumen de agua que se agregó al tanque cada minuto. Cuando sumamos todas las áreas, es decir, cuando todos los volúmenes se acumulan, obtenemos la aproximación para el volumen total de agua después de
Conforme usamos más rectángulos con bases más pequeñas, obtenemos una mejor aproximación. Si tomamos este procedimiento en el límite de acumular un número infinito de rectángulos, obtendremos la integral definida
Y así, el cálculo integral nos permite encontrar el volumen total después de
La integral definida de la razón de cambio de una cantidad nos da el cambio neto de esa cantidad.
En el ejemplo que vimos, teníamos una función que describe una razón. En nuestro caso, era la razón de volumen entre tiempo. La integral definida de esa función nos dio la acumulación de volumen —aquella cantidad cuya razón fue dada—.
Otra característica importante aquí fue el intervalo de tiempo de la integral definida. En nuestro caso, el intervalo de tiempo fue el comienzo
Estas son dos formas comunes de pensar sobre las integrales definidas: describen la acumulación de una cantidad, por lo que la integral definida completa nos da el cambio neto en esa cantidad.
¿Por qué "cambio neto" en esa cantidad y no simplemente la cantidad?
Usando el ejemplo anterior, observa cómo no se nos dijo si había algo de agua en el tanque antes de
Que es aproximadamente
Recuerda: la integral definida siempre nos da el cambio neto en una cantidad, no el valor real de esa cantidad. Para encontrar el valor real, necesitamos sumar una condición inicial a la integral definida.
Error común: usar unidades equivocadas
Como con todos los problemas aplicados, las unidades juegan un papel fundamental aquí. Recuerda que si
Por ejemplo, en el conjunto de problemas 1,
Error común: malinterpretar el intervalo de integración
Para cualquier función
Un error común es no tomar en cuenta uno de los límites de integración (usualmente, el menor), lo que resulta en una interpretación equivocada.
Por ejemplo, en el problema 2, sería una equivocación interpretar
Error común: ignorar las condiciones iniciales
Para una función de razón
Por ejemplo, en el problema 3,
Conexión con las razones de cambio aplicadas
En cálculo diferencial, aprendimos que la derivada
| Cantidad | Razón | |
|---|---|---|
| Cálculo diferencial | ||
| Cálculo integral |
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lo hice todo bien, soy god y la universidad me la pela(13 votos)
¿De dónde salió lo de6sin(0,3t)en el ejemplo del tanque cuando se llena a razón no constante?(9 votos)
Es una razón dada que vas a utilizar para hacer tu cálculo mediante la integración para posteriormente hacer tu sustitución con los valores 6 y 0.(3 votos)
- Ayudaaaa... no me sale el resultado de la razón planteada: 6sin(0.3t) = 24.51 no sé de dónde sale, no da al hacer la resta de los cosenos.(4 votos)
En el 2do ejemplo, ¿Cómo da de resultado 24.51 en la razón no constante? ¿Se deriva el seno y luego el 0.3t se multiplica por el número inferior y superior? No entiendo cómo sale la aproximación del resultado dado. Ayuda(3 votos)- Tienes que integrar la expresión r(t)=6sin(0.3t) dt y evaluar para el intervalo 0,6. La integral de r(t) es -20cos(0.3t) + C,evaluando: -20cos(0.3(6))= 4.544 y -20cos(0.3(0))=-20, ahora solo restamos ambos resultados 4.544 -(-20)=24.544 :)(3 votos)
tener un poco mas de practica(2 votos)- En el ejemplo de "¿Por qué "cambio neto" en esa cantidad y no simplemente la cantidad?" la condición inicial sería el 7?(1 voto)
- No me sale el resultado k(t)(1 voto)
entonces, ¿la integral es la acomulación de cambio de una función?(1 voto)
