Funciones definidas por integrales: problema de desafío

aquí tenemos la gráfica de la función f que asumimos que es una función de t pues aquí tenemos el eje horizontal t así es que es la gráfica de f efe minúscula dt y ahora definamos otra función la función f mayúscula pero no va a ser una función de t va a ser una función de x y la vamos a definir como f mayúscula de x es igual a la integral definida la integral definida desde que te vale menos 5 hasta que te vale x de hecho déjame ponerlas x con el mismo color efe mayúscula de x la integral desde t igual a menos 5 hasta que igual a x de f de t de t y quizá aquí para evitar confusión hubiera usado mejor no sé qué mayúscula para no tener que mezclar efe mayúscula efe minúscula pero voy a tratar de acordarme de esto y precisar efe minúscula dt f mayúscula de x y así evitar confusión pero así es cómo definimos efe mayúscula de x como la integral desde que te iguala menos 5 hasta que te iguala x de ft dt y lo que quiero que hagamos en este vídeo es encontrar para qué valores de x la función f mayúscula se hace cero para que valores de x efe mayúscula de x es igual a cero vamos a escribir eso para que valores de x f mayúscula de x es igual a 0 o para ser más precisos para que valores de x se cumple la ecuación f mayúscula de x es igual a 0 te invito a que le pongas pausa al vídeo e intentes hacerlo por tu cuenta antes de que lo hagamos juntos supongo que ya lo intentaste así es que ahora veamos de qué se trata esta función f mayúscula de x para ver esto recordemos que la integral definida nos da el área en este caso va a ser el área entre t igual a menos 5 y te iguala x que se encuentra por debajo de la gráfica de f dt y por arriba del eje t pero si la gráfica de la función se encuentra por debajo del gt entonces el área va a tener signo negativo así tenemos entonces que desde que te iguala menos 5 de igual a menos 5 es este límite se esta recta desde que te igual a menos 5 hasta que te iguala x supongamos que x es igual a menos 2 que este es el valor de x este sería el otro límite entonces f mayúscula de x nos va a dar el valor de esta área así es que en particular en este ejemplo f mayúscula de menos 2 tendría un valor negativo pues la gráfica de la función se encuentra por debajo del eje de ahora para que valores de x sea sexto cero bien hay uno que es evidente que tal si hacemos x igual a menos 5 haciendo x igual a menos 5 no habría ancho en la región por lo cual el área sería 0 así es que f de menos 5 efe de menos 5 de hecho f mayúscula de menos 5 tengo que ser preciso aquí efe mayúscula de menos 5 es igual a la integral de menos 5 al menos 5 de ft dt y aquí dado que los límites de integración son iguales no hay ancho en la región sobre la cual vamos a integrar por lo cual como mencionamos esta integral es igual a cero podemos entonces empezar nuestra lista con x igual a menos 5 como uno de los valores que hace f mayúscula de x igual a cero veamos si podemos encontrar más valores si nosotros vamos desde x igual a menos 5 déjame borrar esto de aquí bien si empezamos en x igual a menos 5 y terminamos en x igual a menos 3 entonces vamos a tener esta área como el resultado de la integral el área de esta región que corresponde a un triángulo cuya base es 2 vamos a ponerlo aquí la base de este triángulo es 2 y la altura que es 4 con lo cual el área de este triángulo es 2 por 48 entre 2 es igual a 4 pero como la región se encuentra por arriba de la gráfica de la función y debajo el eje te vamos a tomar este valor como menos 4 ahora empezamos en x igual a menos cinco donde f mayúscula de x es igual a cero nos movimos hacia la derecha y obtuvimos un valor negativo y a medida que nos movemos más hacia la derecha obtenemos valores que son cada vez más negativos he tomado el valor de la función en este punto pues aquí hay un cambio de forma en la gráfica de la función es decir vamos tener el área de esta región que va a ir haciendo que f mayúscula de que sea cada vez más negativa a medida que aumenta el valor de x ahora si observamos esta región parece corresponder a un cuarto de círculo un cuarto de círculo de radio 4 y aquí tenemos otro cuarto de círculo de radio 4 cuando llegamos a x igual a 5 aunque aquí el área la vamos a tomar como positiva pues la gráfica de la función está arriba del eje y que ha sucedido entonces cuando hemos llegado hasta acá iniciamos en x igual a menos 5 donde ya vimos que el valor de f mayúscula de menos 5 es igual a cero vimos que a medida que aumentaba x el área se hacía cada vez más y más negativa pero aquí empieza a hacerse menos negativa pues empezamos a agregar valores positivos así por ejemplo aquí en x igual a 2 cuando x es igual a 2 tendremos esta parte positiva que va a contrarrestar un poco lo negativo pero aún así f mayúscula va a seguir siendo negativa pero a medida que avanza la x por acá efe mayúscula va a ser menos negativa de tal manera que cuando llegamos a x igual a 5 de este cuarto de círculo que tiene un valor positivo va a compensar el valor del área de este cuarto de círculo que es negativa no necesitamos calcularlo puedo hacerlo con pi por radio al cuadrado sobre 4 pero no es necesario esto aquí vemos gráficamente que se compensan ahora lo que necesitamos es aumentar área positiva para cancelar este menos 4 y como hacemos esto bueno aquí tenemos que esta altura mide 4 esta altura mide 4 así es que si ahora aumentamos el área en un rectángulo que tenga altura 4 y base 1 obtendremos un área de 4 esta área el área de este rectángulo es 4 y ya compensamos este menos 4 que tenemos aquí así es que el valor de f mayúscula de 6 es igual a 0 vamos a poner eso por acá vamos a escribir eso acá abajo efe mayúscula de 6 efe mayúscula de 6 es igual a la integral la integral definida desde que x es igual a menos 5 hasta que x es igual a 6 de efe minúscula de t dt y esto lo podemos separar como ya hicimos esto lo único que quiero cerciorarme de que lo hemos comprendido bien esto es igual a ni lo va a ser en un solo color ahora esto es igual a no mejor lo hacen los colores que están aquí esto es igual a la integral de menos 5 - 3 de ft dt más la integral de menos tres a uno de ft dt más la integral de 1 a 5 de ft dt que es esta región que tenemos aquí y finalmente más más la integral de 5 a 6 de ft dt así es que está integral de aquí describe esta área de aquí con signo negativo esta de aquí estaré aquí con signo positivo que son iguales así es que estas se cancelan da al cero esta área de aquí es menos 4 más bien el valor de esta integral es menos 4 esto vale menos 4 y el valor de esta integral ya lo calculamos que es igual a 4 menos cuatro y cuatro se hacen cero así es que esta integral vale cero que era lo que estábamos buscando de nueva cuenta como hice esto cuando x igual a menos 5 no hay área la integral vale 0 ya partir de ahí fue aumentando para valores de x cada vez más grandes lo podría haber hecho hacia el otro lado sin embargo obtendría valores positivos cada vez más grandes para el área con lo cual la integral nunca se haría 0 pero para x mayor a menos 5 a medida que vamos aumentando el valor de x el valor de f mayúscula es cada vez más más negativa hasta que llegamos al valor de x igual a 1 donde comienzan a aparecer ya valores positivos que empiezan a compensar todos los valores negativos hasta que llegamos a x 6 donde el valor de fe mayúscula nuevamente llega a ser cero