Integración por partes: integrales definidas

lo que vamos a hacer en este vídeo es evaluar la integral definida de 0 a pi de x coseno de x de x como siempre pausa en el vídeo y traten de evaluar esto por su cuenta a primera vista no es obvio cómo podemos obtener directamente la anti derivada de esto y evaluar la envy y a esto restarle el valor evaluado en 0 por lo que es probable que tengamos que usar una técnica un poco más sofisticada y en general cuando vemos un producto de funciones aquí y si a una de esas funciones se le puede calcular directamente la anti derivada sin hacer la más complicada como coseno de x o como con otras de las funciones como x con la que al calcular su derivada se vuelve más sencilla en este caso se vuelve 1 si es así tenemos un buen indicador de que podemos usar la integración por partes recordemos cómo es esta técnica de integración por partes vamos a escribirlo aquí y lo ponemos como una integral indefinida aunque aquí en nuestro problema vamos a obtener la integral indefinida para después de evaluarla y en cero si tengo fx multiplicada por g prima de x de x esto va a ser igual a en vídeos anteriores de mostramos esto y vimos que viene directamente de la regla de producto del cálculo diferencial esto va a ser igual a fx por gd x menos y ahora intercambiamos esto la integral de f prima de x por gx de x como ya dije queremos encontrar una f x cuya derivada sea más sencilla y queremos encontrar una prima de x cuya anti derivada no sea más complicada ya que si la f x se hace más sencilla al calcular su derivada y g prima de x no se complica más cuando calculamos su anti derivada entonces quizás sea más fácil encontrar la anti derivada de esta expresión hagamos esto aquí entre x y coseno de x cual tiene la derivada más sencilla la derivada de x es igual a 1 así que es bastante sencilla por lo que será mi f x escribimos por acá fx es igual a x efe prima de x es igual a 1 ahora cuál será nuestra prima de x la anti derivada de coseno de x no se vuelve más complicada pues la anti derivada de coseno de x seno de x así que haremos de esto no está g prima de x lo escribimos g prima de x es coseno de x y g b x es la anti derivada de q seno de x que es seno de x otra forma de verlo es que la derivada de seno de x es cosa de x podríamos agregar la constante c pero recuerden que esta es una integral definida y al ser evaluada las constantes se van a cancelar ahora apliquemos la integración por partes en este caso todo esto va a ser igual a lo escribimos aquí abajo efe de x por gx fx es x v x es seno de x por lo que nos da x x x menos la integral de f prima de x que es uno por gx que el seno de x recuerden que esta es una integral definida por lo que ahora tenemos que evaluar todo esto en pie en cero y luego calcular su diferencia cuál es la integral indefinida de seno de x de x o mejor dicho la anti derivada de seno de x sabemos que la derivada de seno es menos seno y para lo que queremos podemos poner el signo negativo dentro de la integral así que esto nos quedaría más la integral indefinida de menos seno de x y ahora si queda claro que la anti derivada de esto es coseno de x por último nos queda evaluar esto en los límites evaluamos primero con pi por lo que esto es igual a pi por senodep y más coseno de pi menos el valor de esto en 0 - 0 por seno de 0 + coseno de 0 seno de pi es 0 por lo que se cancela coseno de pi es menos 1 esto es 0 y coseno de 0 es 1 por lo que tenemos menos uno menos uno lo que nos da menos dos y con esto terminamos la integración por partes pudimos evaluar esta integral definida