Integración por partes: ∫x²⋅𝑒ˣdx

veamos cómo calcular la anti derivada de x cuadrada por la x de x ahora la clave es reconocer cuando podemos aplicar integración por partes pudiera ser obvio porque estamos en un vídeo que habla de integración por partes la clave es cuando necesitas encontrar la anti derivada del producto de dos funciones aquí tenemos el producto de dos funciones el producto de x cuadrada x a la x e integración por partes es útil si yo tomo la derivada de una de las funciones y se hace más simple y si tomo la anti derivada de la otra función y no se complica en este caso si tomo la derivada de x cuadrada se hace más simple es 2x y si tomo la anti derivada de a la x no se hace más complicada asignemos entonces a efe de x x cuadrada y es la función de la cual voy a tomar su anti derivada y se va a ser más simple necesito su anti derivada aquí en esta que es la fórmula de integración por partes y asignemos que prima de x sae a la x asignemos que prima de x a la x que es la función de la cual voy a tomar su anti derivada y en este caso su anti derivada es simplemente ea la x escribamos esto por acá vamos a ponerlo aquí vamos a ponerlos entonces fx es igual a equis cuadrada por lo cual f prima de x es igual a 2x y ahorita no me preocupa la constante al final incluiremos la constante integración para obtener la anti derivada en su forma más general y entonces que prima de x es igual ayala x por lo cual su anti derivada es igual a la misma a la equis y ya podemos aplicar esto que tenemos aquí entonces esta anti derivada va a ser igual a fx fx que es igual a equis cuadrada por gx gx que es a la x x 4 por ea la x menos la anti derivada ponerlo con el mismo color con mismo amarillo menos la anti derivada de f prima de x que es 2 x 12 x x gx que es la x 2x por ea la x 2x era la x de x y bueno al ver esto nos damos cuenta que tenemos aquí otra anti derivada u otra integral indefinida que resolver y la pregunta es bueno cómo vamos a hacer esta anti derivada y la clave la puedes adivinar es aplicar integración por partes nuevamente y si te fijas hemos mejorado las cosas aquí teníamos x cuadrada aquí tenemos 2x hemos bajado en 1 el grado de este mono mió y para este 2 podemos simplificar esta expresión si sacamos el 2 del integral vamos a hacer eso vamos a sacar el 2 de esta integral déjame hacerlo aquí de una vez recuerda que siempre podemos sacar las constantes de una integral esto es igual a equis a la x menos dos veces la integral de x a la x de x entonces vamos a resolver es integral vamos a encontrar la integral de x y a la x de x como mencionamos esta integral también se resuelve por integración por partes aplicando el principio establecido cuál de estas funciones y tomó su derivada se hace más simple bueno aquí tenemos que x su derivada es 1 entonces ésta va a ser nuestra fx fx es igual a equis y que prima de x g prima de x va a ser igual a ya la x que prima de x es igual a la x su anti deriva de sea la x entonces escribamos esto acá abajo fx es igual a x por lo cual f prima de x es igual a 1 y que prima de x prima de x es igual ayala x gx su anti derivada es de nueva cuenta que a la x apliquemos entonces otra vez la fórmula de integración por partes esto que va a ser igual esto es igual a fx porque de x f x es igual a x x x gdx gx que es la equis - la anti derivada la anti derivada de f prima de x que es simplemente uno por gd x que sea la x entonces la anti derivada de 1 por ea la x de x de x y recuerda para que nos perdamos estoy resolviendo esta anti derivada esto les olvide este anti derivada aquí y una vez que tenga este resultado lo puedo sustituir acá arriba para encontrar el resultado el anti derivada original ahora ya podemos apreciar la potencia integración por partes cual el integral de 1 por ea la x de x plantígrada de 1 por ea la x es la anti derivada de a la x y eso es simplemente que a la x pongámoslo acá abajo esto va a ser igual a x por ea la equis - la anti derivada de a la x de x que como dijimos es simplemente ea la x y ahora si podemos sustituir esto que obtuvimos aquí en la expresión que teníamos acá arriba para obtener la anti derivada de la expresión original entonces la anti derivada de la expresión original va a ser igual a ya estamos cerca al final esto va a ser igual a x cuadra vamos a ponerlo voy a ponerlo aquí con un nuevo color con un nuevo color distintivo esto es igual a x cuadrada por ea la x x cuadrada por ea la x menos 2 veces todo esto que tenemos acá menos 2 veces esto que tenemos acá menos 2 veces el resultado de la anti derivada que obtuvimos aquí que es x y a la x menos ea la x y ahora sí a podemos incluir la constante integración más c y esto por supuesto lo podemos simplificar esto va a ser igual a x cuadrada voy a usar el mismo color esto va a ser igual a equis cuadrada y a la equis de distribuir este menos 2 - 2 que multiplica a x sea la x + 2 y a la equis más si ella estuvo hemos acabado hemos calculado la anti derivada de algo que se veía peliagudo usando integración por partes dos veces