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Demostración del teorema fundamental del cálculo

Transcripción del video

supongamos que tenemos una función efe que es continúa continúa en el intervalo a coma ve en a coma b déjame hacer un dibujo para que podamos visualizar la por aquí vamos a tener el eje ye yé de este lado tenemos el eje te voy a ponerte y no x porque la x la quiere utilizar después y la función se ve más o menos agua vale estar aquí es la función está ella igual efe cetem ft y como sabemos que es continuar como aves y por acá ponemos a por acá ponemos ve entonces la función es continua en este intervalo sale es continua en esta parte de acá ahora así nada más por pura diversión vamos a definir otra función que le vamos a poner efe mayúscula de x y la vamos a definir como la integral de ax df detem dt y esta va a ser una función para las x es que están en este mismo intervalo entonces voy a poner para x en ese mismo intervalo a coma ve muy bien entonces estoy acá para cada quien nos da un número y digo puede decir mira aquí tenemos una integral definida entonces seguro tiene que ver con derivar y con derivar pero espérate tantito eso de ahí todavía no lo sabemos lo hemos usado pero en realidad lo único que sabemos de esta expresión es que es un área ésta es el área de a ax de ax que está por debajo de la función bueno de la gráfica de la función ye igual a st entonces marcándola en el dibujo sería esta área de aka esta manera sale muy bien lo que quiero hacer en este vídeo es que realmente esto tiene que ver con derivar bueno con ser una operación inversa derivar vaya quiero más o menos dar ideas para la demostración del teorema fundamental del cálculo y para esto vamos a derivar esta función efe esta función efe pero lo vamos a hacer con la definición entonces qué vamos a hacer vamos a encontrar efe prima de x y por definición estoy acá es igual al límite al límite cuando delta x tiene a pero df dx más delta x - efe de x y todo eso / / entre delta x esta es la definición de derivar muy bien ahora vamos a sustituir estas jefes mayúsculas por la expresión que les corresponde entonces esto nos quedaría igual a igual al límite cuando delta x tiende a cero de aquí tenemos que poner x 90 x o sea la integral de ax más delta x de ft efe tt dt y luego hay que restar fx no sea esta expresión de acá integral de a ax df detem efe tdt súper pacio que luego tenemos que dividir entre la equidad va entonces ahora vamos a interpretar estos estos términos saca en las áreas para ver qué nos dicen va aquí tenemos la integral de a ax más del touch de ftp aquí llegamos hasta xmas delta x así que déjame marcar lo por acá aquí en algún lugar tenemos xmas delta x tantito la b pero no leas entonces el área que representa este término laca este término es el área que ahorita voy a asombrar en color verse en esta área esta área hasta cabra desde a hasta x 90 x muy bien entonces estoy acá es esa integral y está sumando este otro sumando el que va de ax ya lo teníamos marcados verdad esta región entonces al realizar la resta esta es un área le estamos quitando otra área y el área que nos queda es esta área de aquí esta área que voy a pintar en color morado para indicar que viene de acá de la derivada y esa área la podemos expresar como la integral de x x x + delta x x la revuelta xd efe dt efe ct de este fantástico muy bien entonces esta expresión la podemos cambiar por estar acá así que vamos a reescribir efe prima de x así vamos a reescribir como uno entre delta x por el numerador que se esté acá entonces nos quedaría por la integral de x x + delta x df detem de ti ok entonces mira ahora tenemos esta expresión interesante pero esta expresión suele aparecer cuando hacemos cosas del estilo teorema de valor medio para integrales definidas y para acordar nos dejan escribir o por acá crema de valor medio para para integrales definidas definidas y dice lo siguiente dice que si tenemos una cierta integral en un intervalo entonces existe un punto c en ese intervalo entonces le voy a poner aquí existe ese existe se en el intervalo x coma x1x delta x tal que si tomamos ese es más deja de pintar lo va a ponerlo por acá queda entre los dos valores entonces éste hace pero tal que si tomamos este valor y nos fijamos cuánto vale la función a y aquí tiene cierta altura fcc verdad fcc y eso esa altura esta altura de acá la multiplicamos por la longitud del intervalo en el cual estamos integrando aquí la longitud sería delta x verdad porque es x + delta x - x nos queda de esta x entonces al multiplicar fcc por esa longitud el intervalo obtenemos la integral dejan escribir entonces existe un ace en ese intervalo tal que tal que delta x por fcc por fcc es igual a la integral de ekiza xmas delta x x + zx df dt de te dejan de bajar tantito o bien dividiendo entre dividiendo entre delta x obtenemos que fcc es igual a 1 entre delta x por la integral de x x + celta delta x fct de ok esto está súper bueno básicamente lo que nos dice es que este valor se es como un valor medio verdad un valor promedio estamos sumando todos los valores y dividimos entre la longitud del dedo el intervalo o bien otra forma de pensar lo es en términos de área y si esa altura promedio la multiplicamos por la longitud del intervalo entonces vamos a obtener exactamente el área que está por debajo de la curva bueno entonces vamos a utilizar esto para seguir con nuestra derivada entonces déjame seguir de este lado del lado izquierdo entonces lo va a poner si entonces efe prima de x f prima de x es igual al límite aquí me faltó un límite verdad este límite debía dejar de poner aquí igual al límite de cuándo del dx tiene acero límite y ese límite es el primer x es igual al límite cuando delta x tiende a cero tiende a cero de fcc porque mires esta expresión que aquí la tenemos pero simplemente fs efe ds sal y entonces tenemos esta expresión de acá cómo le podemos hacer para pensar la ya casi terminamos ya estamos nada más en el último jalón mira pensemos lo tanto intuitivamente que sucede con c a pues se queda encerrado entre x y xv más delta x y aquí estamos tomando el límite cuando delta x tiende a cero o sea cuando estamos encerrando lo tanto tanto que queda cerquita de x entonces pues más o menos acá intuitivamente intuitivamente se tiende a x no voy a poner así en color amarillo entonces se tiende a x cuando cuando de esta x delta x tiende a cero y como efe es una función continua si se acerca x entonces fcc se acerca y fede x fx cuando cuando delta de x de elda de x tiende a cero entonces pues a esta verdad porque básicamente lo que estoy diciendo es que si de él está diciendo a 0 fcc fcc es igual al límite de cuando él está diciendo a 0 de fcc es igual a efe de que se va x fcc se va a fx entonces aquí nos queda el px pero ahorita me hace estar diciendo hoy en óperas de tantito este es el video de la prueba del teorema fundamental del cálculo no estoy muy conforme nada más me dio la idea intuitiva y que vayas al día gramita y me digas miras están acercando a caixa cercana acá lo mejor hay que dar algo un poco más formal ok entonces vamos a probar un poco más formalmente y para eso vamos a utilizar el teorema del sándwich va el teorema del sándwich es lo que nos dice acordarnos es lo siguiente tenemos una cierta desigualdad en este caso tendríamos tendríamos que lo va a poner con color color azul tendríamos que x es menor o igual hace que es menor o igual a x + delta x y entonces sí este lado se iba a un cierto límite y éste lado también se va otro límite del medio también pero para eso necesitamos que los medios en función de una variable pero fíjate ésta se en realidad está en función de delta x la podemos pensar como una función delta x porque si vamos variando la delta x pues va cambiando el punto c que es el valor medio entonces vamos a pensarla como una función de delta x y aquí vamos a ver qué sucede con el límite de las expresiones de los extremos cuando delta x se va a 0 entonces qué pasa con el límite de x cuando delta x delta x tiende a 0 x no depende de la x verdad que ya está aquí y fijó entonces estoy acá simplemente es x y de este lado que sucede que pasa con con el límite con el límite de cuando él está el límite cuando delta x tiende a cero dx más delta x pues desde aquí se va a ser entonces simplemente nos queda igual a x pues ahí está mira cuando del tec y se va 0 esto se va x esto se va x y entonces por el teorema del sándwich la expresión del medio estás acá también se va a x de esta forma el límite cuando delta x se va a hacer o dc de delta x es igual hay entonces con esta obra si ya podemos terminar o sea esta expresión ésta hace ahora sí ya tenemos un argumento para decir que se va a x entonces se tiende a x pero luego la función es continua entonces fcc tiende a efe de que esto nada más es una forma un poco más formal que está un poco más rigurosa de probar esto que ya habíamos dicho antes básicamente que se va x y que a veces se va a fbi muy bien hasta aquí tenemos nuestra prueba está súper padre vamos a discutir un poquito que nos dice mira está muy bueno nos dice que si tenemos una función continúa la que nosotros queramos en un intervalo a coma b y definimos ésta es mayúscula de esta forma como una integral entonces tenemos lo voy a escribir por acá abajo o reescribir básicamente tenemos que f prima de x la derivada de esa función que definimos es igual a efe dx es este límite que encontramos con la definición y pues porque para porque esto está padrísimo sea porque esto es muy relevante apuesta muy padre porque eso de que a la chita le asignamos la la f grandota se puede hacer para cualquier función continua verdad y y entonces para cualquier función continúa le asignamos una mayúscula efe mayúscula que se puede derivar para obtenerla efe original vaya diciendo que para cualquier función continúa siempre existe una entidad privada eso está bien padre por sí mismo pero lo que está todavía más padre es que este tema fundamental del cálculo nos ayuda a unir dos áreas súper importantes del cálculo derivar e integrar y nos está diciendo que estas dos grandes ramas del cálculo básicamente todo el cálculo verdad están súper relacionadas entonces qué pasa esta cosa crítica inicialmente era un área efe mayúscula fue mayúscula ahora si la estamos pensando cómo como una cosa que es la operación inversa de derivar si sacamos el área y luego derivamos regresamos al original está muy muy bueno entonces este problema fundamental nos da una relación derivar entre derivar que sacar un área que perón que sacar una cierta pendiente e integrar integrar entonces por eso es el problema fundamental del cálculo y claro ósea o sea lo hemos estado usando en más o menos de manera intuitiva no lo habíamos probado para nosotros es la integral hasta ahora nada más había sido un área habíamos definido como una área pero gracias a esto que acabamos de demostrar ahora que estamos segurísimos de que integrar y derivar están súper conectados