Integral de sin^4(x)

veamos si podemos calcular la integral indefinida de seno cuarto de x o seno elevado a la cuarta de x de x y como siempre ponle pausa el vídeo e intenta hacerlo por tu cuenta si este fuera un exponente impar para seno o para coseno entonces la técnica que yo uso consiste en lo siguiente si tenemos por ejemplo seno cúbico de x esto lo va a separar en dos lo va a separar como seno cuadrado de x por seno de x y aquí para hacer un cuadro de x aplicaría a la identidad pitagórica de tal manera que cuando la multiplique por seno de x ya podría aplicar la sustitución esto ya lo hemos hecho en vídeos anteriores y también aplicaría si éste fuera coseno cúbico de x o elevado a la quinta o cualquier exponente impar pero aquí tenemos un exponente par que hacemos la técnica que usamos o el truco que aplicamos está basada también el manipular algebraica mentel integrando para llevarlo a una forma donde podamos integrarlo con alguna de las técnicas que ya conocemos en este caso usaremos la identidad del doble ángulo la identidad del doble ángulo sé que se no cuadrado de x es igual un medio de 1 - coseno de 2x y como podemos aplicar esta identidad aquí bien nuestra integral original la podemos escribir como la integral de seno cuadrado de x elevado al cuadrado de x y aquí podemos aplicar de identidad de identidad el doble ángulo aquí tenemos seno cuado de x que es lo mismo que esto que tenemos acá por supuesto entonces aplicando la identidad del doble ángulo la integral nos queda la integral d un medio que multiplica a uno menos coseno de 2x todo esto elevado al cuadrado de x y ahora aquí podemos sacar de la integral la constante vamos a extraer un medio elevado al cuadrado que es igual a un cuarto así es que esto es igual a un cuarto de la integral de vamos a desarrollar este binomio elevado al cuadrado esto es uno menos dos veces el coseno de dos equis y más el coseno cuadrado de 2x y esto lo estamos integrando con respecto a equis y aquí vemos que es inmediato calcular la integral o la anti derivada de estos dos términos pero qué hacemos con este término que tenemos aquí de nueva cuenta tengo un exponente par apliquemos la identidad del doble ángulo para coseno sabemos que el coseno cuadrado ahora de 2x es igual a un medio de uno más el coche no del doble el ángulo del coseno de 4x así es que sustituyendo el integral esto nos queda igual a esto va a ser igual a en un cuarto lo voy a dejar ahí un cuarto que multiplica a la integral del agua dejar del mismo color de uno menos dos coseno de 2x más coseno cuando de 2x que acabamos de calcular como un medio y aquí ya voy a distribuir en un medio así es que es un medio más un medio de coseno de 4x de x de equis y aquí veamos aquí tenemos un medio no no es este se esté acá un medio más uno son tres medios así es que al sumar estos dos términos tenemos tres medios vamos a describir toda la integral ya estamos prácticamente en la recta final esto es igual a un cuarto del integral de tres medios menos dos coseno de dos x más y aquí lo que voy a hacer observó que aquí tengo coseno el 4x así es que este un medio lo va a poner como cuatro octavos para tener cuatro multiplicando no se va a alterar porque voy a multiplicar y dividir entre cuatro esto es igual a más un octavo que multiplica a cuatro coseno de 4x y esto que estoy haciendo es prepararme para hacer una sustitución aquí tenemos 4x necesitamos su derivada que es 4 para integrar con respecto a 4x vamos a aplicar algo que se llama la regla de sustitución algo así como el reverso de la regla de la cadena que es el fundamento de la sustitución y ya estamos listos para integrar así es que esto es igual y aquí hacemos unas vanguardias esto es igual a un cuarto que multiplica a tres medios de x menos aquí tenemos dos que es la derivada de 2x así es que esto es igual a menos seno de 2x veamos si está bien la derivada de seno de 2x es 212 92 x qué es lo que tenemos aquí perfecto y esto más un octavo de la integral de esto que es seno de 4x veamos si está bien la deriva es en el 4x es 4 kos en el 4x que es exactamente lo que tenemos aquí y entonces ya llegamos a la meta más la constante integración c pues es una integral indefinida y así hemos concluido no fue un ejemplo tan simple pero tampoco estuvo tan complicado lo que sí obtener la solución es sumamente satisfactorio