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Repaso de la regla inversa de la potencia

Repasa tu conocimiento de la regla inversa de la potencia para integrales y resuelve problemas con ella.

¿Qués es la regla inversa de la potencia?

La regla de la potencia inversa nos dice cómo integrar expresiones de la forma x, start superscript, n, end superscript, donde n, does not equal, minus, 1:
integral, x, start superscript, n, end superscript, d, x, equals, start fraction, x, start superscript, n, plus, 1, end superscript, divided by, n, plus, 1, end fraction, plus, C
Básicamente incrementas la potencia en uno y luego divides entre la potencia plus, 1.
Recuerda que esta regla no se aplica para n, equals, minus, 1.
En lugar de memorizar la regla inversa de la potencia, es útil recordar que se puede obtener rápidamente de la regla de la potencia para derivadas.
¿Quieres aprender más acerca de la regla inversa de la potencia? Revisa este video.

Integración de polinomios

Podemos usar la regla inversa de la potencia para integrar cualquier polinomio. Considera, por ejemplo, la integración del monomio 3, x, start superscript, 7, end superscript:
3x7dx=3(x7+17+1)+C=3(x88)+C=38x8+C\begin{aligned} \displaystyle\int 3x^7\,dx&=3\left(\dfrac{x^{7+1}}{7+1}\right)+C \\\\ &=3\left(\dfrac{x^8}{8}\right)+C \\\\ &=\dfrac{3}{8}x^8+C \end{aligned}
¡Recuerda que siempre puedes revisar tu integración si derivas el resultado!
Problema 1
integral, 14, t, d, t, equals, question mark
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¿Quieres intentar más problemas como este? Revisa estos ejercicios:

Integración de potencias negativas

La regla inversa de la potencia nos permite integrar cualquier potencia negativa distinta de minus, 1. Considera, por ejemplo, la integración de start fraction, 1, divided by, x, squared, end fraction:
1x2dx=x2dx=x2+12+1+C=x11+C=1x+C\begin{aligned} \displaystyle\int \dfrac{1}{x^2}\,dx&=\displaystyle\int x^{-2}\,dx \\\\ &=\dfrac{x^{-2+1}}{-2+1}+C \\\\ &=\dfrac{x^{-1}}{-1}+C \\\\ &=-\dfrac{1}{x}+C \end{aligned}
Problema 1
integral, 8, t, start superscript, minus, 3, end superscript, d, t, equals
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Integración de potencias fraccionales y radicales

La regla inversa de la potencia también nos permite integrar expresiones en las que x se eleva a una potencia fraccional o radical. Considera, por ejemplo, la integración de square root of, x, end square root:
xdx=x12dx=x12+112+1+C=x3232+C=2x33+C\begin{aligned} \displaystyle\int \sqrt x\,dx&=\displaystyle\int x^{^{\large\frac{1}{2}}}\,dx \\\\ &=\dfrac{x^{^{\large\frac{1}{2}\normalsize+1}}}{\dfrac{1}{2}+1}+C \\\\ &=\dfrac{x^{^{\large\frac{3}{2}}}}{\frac{3}{2}}+C \\\\ &=\dfrac{2\sqrt{x^3}}{3}+C \end{aligned}
Problema 1
integral, 4, t, start superscript, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, end superscript, d, t, equals, question mark
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