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Sumas de punto medio y con trapecios en notación de suma

Estimar el área bajo una curva con trapecios en vez de rectángulos nos puede dar una mejor aproximación. Creado por Sal Khan.

Transcripción del video

en los vídeos pasados hemos aproximado áreas por debajo de la gráfica de una función utilizando rectángulos donde el alto estaba dado por la función evaluada en el extremo izquierdo entonces teníamos rectángulos más o menos de esta forma para aquí teníamos un primer rectángulo que llegaba como por acá y entonces el rectángulo se veía así es hoy ayer era nuestro rectángulo número 1 luego en nuestro segundo rectángulo empezaba en x 1 su altura era f x 1 y que teníamos algo de este estilo más o menos algo así luego el tercer rectángulo que es el segundo el tercer rectángulo su altura era fx2 más o menos en este punto tenemos fx2 ba y seguíamos seguíamos y seguíamos hasta llegar al enésimo rectángulo donde la altura era fx n 1 que pereció en el -1 o sea llegar hasta aquí y la base era un cierto delta xv ah entonces este de aquí es el enésimo rectángulo ok entonces cuando realizábamos la suma de estas áreas que nos quedaba pues la aproximación nos quedaba la suma la suma desde y igual a 1 hasta n esto lo que indicaba era que nos fuéramos moviendo en cada uno de los rectángulos desde el primero hasta el enésimo de qué cosas pues de las áreas de estos rectángulos y el área estaba dada por la altura la altura que era f de x menos 1 multiplicada por un delta x aquí fx y menos 1 hace que corresponda con lo que queremos verdad sí -es 1 nos queda el primer rectángulo y que de fede x 0 si es 2 es el segundo rectángulo queda efe x 1 y así si llegamos hasta n el enésimo rectángulo tiene altura fx n 1 entonces esas son las alturas y estoy acá el delta x era el largo y como estábamos suponiendo que todos los rectángulos tenían el mismo largo que ese largo lo podríamos calcular considerando la longitud del intervalo que era ver - y dividiendo entre la cantidad de rectángulos que era n muy bien entonces esto de acá nos da una aproximación sin embargo debes estar pensando que no es la única forma de aproximar el área y si tienes toda la razón en realidad podemos aproximar evaluando la función no en electro mi izquierda sino en el derecho o en el punto medio o incluso podemos utilizar otra figura geométrica entonces vamos a ver eso en estas otras figuras en estas otras gráficas de por acá vale vamos a estar acá ya la de la derecha y vamos a pensar que aquí esté los rectángulos la altura está dada por efe por la función evaluado en el extremo derecho entonces ahora nuestro primer rectángulo tendría esta altura va tendría esta altura de acá entonces ahora sería un rectángulo un poco más chaparrito que antes ese de ahí sería el primer rectángulo el segundo rectángulo ahora tendría esta altura de acá esta verdad efe evaluada en x2 déjalo déjalo efe este es de la cacería efe en x 1 creo que esto no se ve mucho pero bueno se ve la idea verdad y así así vamos a continuar hasta el enésimo rectángulo y ahora la altura estaría dada por fx en sí entonces este de acá sería el enésimo el enésimo rectángulo muy bien ahora como nos quedaría nuestra aproximación cómo quedaría la suma pues una vez más va a ser la suma otra vez tenemos que movernos por n rectángulos entonces vamos desde igual a uno hasta n vamos recorriendo todos del área y ahora cuál es la altura pues la altura ahora digamos para el primer rectángulo es f x 1 para el segundo s f de x2 entonces ahora no quedaría efe de x y multiplicado x el largo que es delta x este delta x es el mismísimo delta x que antes y eso no ha cambiado lo que sí cambia la diferencia con el anterior es que antes la altura estaba dada por efe en el extremo izquierdo pero ahora la altura está dada por efe en el extremo derecho vale muy bien ahora qué tal que no queremos aproximar utilizando la función evaluada en los extremos sino que queremos evaluar la función en el punto medio vamos a ver cómo nos quedarían las cuentitas pasando a esta figura de acá entonces ahora ahora el rectángulo pues iba a tener esta base pero su altura no va estar dada ni por la función evaluada aquí ni acá sino en el punto medio en este punto medio de acá y cuánto vale cuanto vale este punto medio pues es la mitad entre x0 y x1 o sea sería x0 más x1 entre 2 entonces la altura la tratamos así vemos hasta dónde llegamos este punto de acá este punto de acá es f de x0 más x1 entre 2 y por tanto el rectángulo se verían se vería más o menos así a iván y que me quede un poco más como rectángulo entonces ahí tendríamos el primer rectángulo va el rectángulo número uno de modo similar aquí tomaríamos el punto medio subimos llegamos hasta la función evaluada ahí y esta sería la altura del rectángulo número dos y está aquí es la altura del rectángulo número dos y continuamos continuamos hasta el enésimo rectángulo donde una vez más pues tiene esta base verdad x n 1 x n pero ahora la altura llega aquí va a la función evaluada en el punto medio entonces llega aquí salehí vale este de aquí sería el enésimo rectángulo como nos quedaría la aproximación pues ahora quedaría la suma la suma desde iu igual a uno hasta n y ahora como está dada la altura pues ahora tenemos que evaluar la función en el punto medio en el punto medio de el punto xy menos uno y el punto equis y en el punto medio y eso lo tenemos que multiplicar por delta x la misma delta x esta delta x no ha cambiado es venosa / n que también es la misma del delta x acá pero la diferencia es que estamos evaluando la función f en el punto medio muy bien ya tenemos tres formas de hacerlo vamos a pensar en una más pero vamos a ponernos un poco más creativos ahora vamos a cambiar de figura geométrica y vamos a utilizar trapecios vale trapecios eso suena más divertido entonces cómo le haríamos para calcular el este el área pues teníamos que dibujar nuestros trapecios los trapecios van a ser así uno de los lados va a ser efe en el extremo izquierdo y el otro lado va a ser efe en el extremo derecho un extremo final entonces el trapecio se vería más o menos algo así va esto de aquí sería el trapecio número uno el segundo trapecio ahora iría de aquí y este punto de acá éste sería el de la presión número 2 y así seguimos y seguimos hasta acá hasta acá que tendríamos el enésimo trapecio uno de los lados es el fx n 1 y el otro es fx y esos son los lados paralelos este es el enésimo trapecio muy bien cómo le hacemos para calcular el área de este trapecio pues vamos a acordarnos cómo se calcula el área de un trapecio en general vale entonces mira este punto de acá es efe x 1 y este punto de acá es fx2 entre x2 y para calcular el área de un trapecio tenemos que promediar sus lados paralelos y multiplicar por la distancia que los separa entonces por ejemplo para este primer trapecio este que voy a sombrear su área sería promediar sus dos lados sería efe de x 1 + efe x 2 flt x 2 dividido entre 2 desde el promedio de los lados y hay que multiplicarlo por la distancia que los separa en este caso sería delta de x muy bien este es el área del primer trapecio verdad nada más estoy acá entonces como le haríamos para obtener nuestra aproximación pues sumamos todas las áreas y por lo tanto nos quedaría la suma la suma desde y igual a 1 hasta n entonces hay que promediar los dos valores de la función la de f x y bueno le voy a poner aquí primero xy menos uno más efe de x dividido entre 2 entre 2 y todo eso voy a moverme tantito a la derecha x delta x el mismísimo delta x de siempre sale vale entonces quería mostrarte de estas cuatro formas para acostumbrarnos a que hay varias formas en las cuales podemos aproximar el área por debajo de una integral estás puedes verla puede que las veas en tus libros y de hecho puede ser que veas estos símbolos de acá que parecen símbolos algebraicos sin mucho sentido entonces lo que quiero que te quede además de las cuatro formas de hacerlo es que estos símbolos algebraicos representan algo en el fondo representan una aproximación utilizando rectángulos o trapecios este es con el extremo izquierdo verdad con la altura dada por el extremo izquierdo está con la altura dada por el extremo derecho está con el punto medio y estar acá es una aproximación utilizando trapecios