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Comprender la regla del trapecio

Estudia paso a paso un ejemplo de la regla del trapecio; después, intenta un par de problemas de práctica.
A estas alturas ya sabes que podemos usar sumas de Riemann para aproximar el área bajo la gráfica de una función. Las sumas de Riemann utilizan rectángulos, y a veces resultan en aproximaciones medio malas. Pero ¿qué tal si, en vez de rectángulos, usamos trapecios para aproximar el área bajo la gráfica de una función?
Idea clave: al usar trapecios (es decir, "la regla del trapecio"), podemos obtener aproximaciones más precisas que al utilizar rectángulos (es decir, "sumas de Riemann").

Un ejemplo de la regla del trapecio

Estudiemos esta regla al utilizar trapecios para aproximar el área bajo la gráfica de la función f(x)=3ln(x) en el intervalo [2,8].
Así es como se ve la regla en un diagrama, donde llamamos al primer trapecio T1, al segundo T2 y al tercero T3:
Recuerda que el área de un trapecio está dada por h(b1+b22), donde h es la altura y b1 y b2 son las longitudes de las bases.

Encontrar el área de T1

Debemos pensar que el trapecio está de costado.
La altura h es el 2 en la parte baja de T1 que genera el intervalo comprendido entre x=2 y x=4.
La primera base, b1, es el valor de 3ln(x) en x=2, es decir, 3ln(2).
La segunda base, b2, es el valor de 3ln(x) en x=4, es decir, 3ln(4).
Así es como se ve todo esto:
Pongamos todo esto junto para encontrar el área de T1:
T1=h(b1+b22)
T1=2(3ln(2)+3ln(4)2)
Simplifica:
T1=3(ln(2)+ln(4))

Encontrar el área de T2

Encontramos la altura y ambas bases:
h=2
b1=3ln(4)
b2=3ln(6)
Sustituye y simplifica:
T2=3(ln(4)+ln(6))

Encuentra el área de T3

T3=
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Encontrar el área total de la aproximación

Encontramos el área total de la aproximación al sumar el área de cada uno de los trapecios:
Área total=T1+T2+T3
Esta es la respuesta final, ya simplificada:
Área total=3(ln2+2ln4+2ln6+ln8)
Lo mejor en en este punto es que hagas una pausa y hagas tú mismo las cuentas ¡para que te asegures de que has entendido cómo obtuvimos el resultado!

Problema de práctica

Escoge la expresión que utiliza cuatro trapecios para aproximar el área bajo la gráfica de la función f(x)=2ln(x) en el intervalo [2,8].
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Problema de desafío

Escoge la expresión que utiliza tres trapecios para aproximar el área bajo la gráfica de la función f en el intervalo [1,5].
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