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Cálculo integral
Curso: Cálculo integral > Unidad 1
Lección 2: Aproximación con sumas de Riemann- Introducción a la aproximación de Riemann
- Sobre o subestimación de sumas de Riemann
- Sumas de Riemann derecha e izquierda
- Ejemplo resuelto: encontrar una suma de Riemann usando una tabla
- Sumas de Riemann derecha e izquierda
- Ejemplo resuelto: sub y sobrestimación de sumas de Riemann
- Sobre o subestimación de sumas de Riemann
- Sumas de punto medio
- Sumas trapezoidales
- Comprender la regla del trapecio
- Sumas con trapecios y de punto medio
- Repaso de sumas de Riemann
- Problema de movimiento con una aproximación por suma de Riemann
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Comprender la regla del trapecio
Estudia paso a paso un ejemplo de la regla del trapecio; después, intenta un par de problemas de práctica.
A estas alturas ya sabes que podemos usar sumas de Riemann para aproximar el área bajo la gráfica de una función. Las sumas de Riemann utilizan rectángulos, y a veces resultan en aproximaciones medio malas. Pero ¿qué tal si, en vez de rectángulos, usamos trapecios para aproximar el área bajo la gráfica de una función?
Idea clave: al usar trapecios (es decir, "la regla del trapecio"), podemos obtener aproximaciones más precisas que al utilizar rectángulos (es decir, "sumas de Riemann").
Un ejemplo de la regla del trapecio
Estudiemos esta regla al utilizar trapecios para aproximar el área bajo la gráfica de la función f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, natural log, left parenthesis, x, right parenthesis en el intervalo open bracket, 2, comma, 8, close bracket.
Así es como se ve la regla en un diagrama, donde llamamos al primer trapecio T, start subscript, 1, end subscript, al segundo T, start subscript, 2, end subscript y al tercero T, start subscript, 3, end subscript:
Recuerda que el área de un trapecio está dada por h, left parenthesis, start fraction, b, start subscript, 1, end subscript, plus, b, start subscript, 2, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, donde h es la altura y b, start subscript, 1, end subscript y b, start subscript, 2, end subscript son las longitudes de las bases.
Encontrar el área de T, start subscript, 1, end subscript
Debemos pensar que el trapecio está de costado.
La altura h es el 2 en la parte baja de T, start subscript, 1, end subscript que genera el intervalo comprendido entre x, equals, start color #1fab54, 2, end color #1fab54 y x, equals, start color #ca337c, 4, end color #ca337c.
La primera base, b, start subscript, 1, end subscript, es el valor de 3, natural log, left parenthesis, x, right parenthesis en x, equals, start color #1fab54, 2, end color #1fab54, es decir, 3, natural log, left parenthesis, start color #1fab54, 2, end color #1fab54, right parenthesis.
La segunda base, b, start subscript, 2, end subscript, es el valor de 3, natural log, left parenthesis, x, right parenthesis en x, equals, start color #ca337c, 4, end color #ca337c, es decir, 3, natural log, left parenthesis, start color #ca337c, 4, end color #ca337c, right parenthesis.
Así es como se ve todo esto:
Pongamos todo esto junto para encontrar el área de T, start subscript, 1, end subscript:
Simplifica:
Encontrar el área de T, start subscript, 2, end subscript
Encontramos la altura y ambas bases:
Sustituye y simplifica:
Encuentra el área de T, start subscript, 3, end subscript
Encontrar el área total de la aproximación
Encontramos el área total de la aproximación al sumar el área de cada uno de los trapecios:
Esta es la respuesta final, ya simplificada:
Lo mejor en en este punto es que hagas una pausa y hagas tú mismo las cuentas ¡para que te asegures de que has entendido cómo obtuvimos el resultado!
Problema de práctica
Problema de desafío
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- esto es demasiado confuso , por mas que lo expliquen no entiendo(27 votos)
- la bateria de un robot dura 4 hrs
¿cuantas horas dura en una semana?(0 votos)- serias 720 horas si la bateria no se acabara en una semana(1 voto)