A estas alturas ya sabes que podemos usar sumas de Riemann para aproximar el área bajo la gráfica de una función. Las sumas de Riemann utilizan rectángulos, y a veces resultan en aproximaciones medio malas. Pero ¿qué tal si, en vez de rectángulos, usamos trapecios para aproximar el área bajo la gráfica de una función?

Idea clave: al usar trapecios (es decir, "la regla del trapecio"), podemos obtener aproximaciones más precisas que al utilizar rectángulos (es decir, "sumas de Riemann").

Estudiemos esta regla al utilizar trapecios para aproximar el área bajo la gráfica de la función $f(x) = 3 \ln(x)$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, natural log, left parenthesis, x, right parenthesis en el intervalo $[2, 8]$open bracket, 2, comma, 8, close bracket.

Así es como se ve la regla en un diagrama, donde llamamos al primer trapecio $T_1$T, start subscript, 1, end subscript, al segundo $T_2$T, start subscript, 2, end subscript y al tercero $T_3$T, start subscript, 3, end subscript:

Recuerda que el área de un trapecio está dada por $h \left(\dfrac{b_1 + b_2}{2}\right)$h, left parenthesis, start fraction, b, start subscript, 1, end subscript, plus, b, start subscript, 2, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, donde $h$h es la altura y $b_1$b, start subscript, 1, end subscript y $b_2$b, start subscript, 2, end subscript son las longitudes de las bases.

Debemos pensar que el trapecio está de costado.

La altura $h$h es el $2$2 en la parte baja de $T_1$T, start subscript, 1, end subscript que genera el intervalo comprendido entre $x = \greenD 2$x, equals, start color #1fab54, 2, end color #1fab54 y $x = \maroonD 4$x, equals, start color #ca337c, 4, end color #ca337c.

La primera base, $b_1$b, start subscript, 1, end subscript, es el valor de $3 \ln(x)$3, natural log, left parenthesis, x, right parenthesis en $x = \greenD 2$x, equals, start color #1fab54, 2, end color #1fab54, es decir, $3 \ln (\greenD 2)$3, natural log, left parenthesis, start color #1fab54, 2, end color #1fab54, right parenthesis.

La segunda base, $b_2$b, start subscript, 2, end subscript, es el valor de $3 \ln(x)$3, natural log, left parenthesis, x, right parenthesis en $x = \maroonD 4$x, equals, start color #ca337c, 4, end color #ca337c, es decir, $3 \ln (\maroonD 4)$3, natural log, left parenthesis, start color #ca337c, 4, end color #ca337c, right parenthesis.

Así es como se ve todo esto:

Pongamos todo esto junto para encontrar el área de $T_1$T, start subscript, 1, end subscript:

Simplifica:

Encontramos la altura y ambas bases:

Sustituye y simplifica:

Encontramos el área total de la aproximación al sumar el área de cada uno de los trapecios:

Esta es la respuesta final, ya simplificada: