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Problema de movimiento con una aproximación por suma de Riemann

Transcripción del video

un ciclista empieza a pedalear y acelera por 12 segundos la velocidad vedette del ciclista cada 2 segundos en pies por segundo está dada en la tabla y aquí nos dan diversos valores de tiempo a los 4 segundos la velocidad de 7.5 pies por segundo a los 8 segundos la velocidad es 9 pies por segundo considera la gráfica de velocidad contra tiempo velocidad contra tiempo sea r mayúscula de 6 la suma de las áreas de 6 rectángulos circunscritos con sus intervalos iguales entonces r mayúscula de 6 es una aproximación de la distancia total recorrida en pies durante los 12 segundos cuál es el valor de r mayúscula de 6 te invito a que le pongas pausa al vídeo e intentes hacerlo por tu cuenta posteriormente lo haremos juntos y en cualquier momento si te sientes inspirado podrás ponerle pausa y terminarlo por tu cuenta veamos qué es lo que nos están diciendo dice considera la gráfica de velocidad contra tiempo graphic hemos pues los puntos en este papel gráfico me voy a enfocar el primer cuadrante pues los valores de tiempo y velocidad son ambos positivos veamos entonces este es el eje del tiempo este es el eje de la velocidad como función del tiempo vemos que los valores de tiempo van de 0 a 12 de dos en dos vamos a marcarlos en la gráfica aquí tenemos 0 2 4 6 8 10 y 12 y la velocidad tiene valores que van desde 0 hasta 10 vamos a marcar los 1 2 3 4 5 solo voy a identificar algunos 6 7 8 9 10 esta es nuestra velocidad que está en pies por segundo mientras que el tiempo está en segundos graf y queremos pues los puntos entre igual a 0 la velocidad de 0 gente igual a 2 la velocidad es 6 pies por segundo entre igual a 4 la velocidad es 7.5 pies por segundo gente igual a 6 la velocidad es 8.5 entre igual a 8 la velocidad es gente igual a 10 segundos la velocidad es 9.5 pies por segundo y finalmente / igual a 12 la velocidad es 10 pies por segundo y lo que he hecho aquí es graficar los datos que nos han dado ya tenemos la gráfica de velocidad contra tiempo de acuerdo a los datos que nos proporcionaron así es que podemos imaginar que aquí va una curva vamos a dibujar una curva que pase por estos puntos la curva que representa la gráfica de la velocidad en función del tiempo la cual es más o menos así ela y esta es la gráfica de velocidad contra tiempo veamos ahora cómo calcular la suma de las áreas de seis rectángulos circunscritos con sus intervalos iguales cuando indican sus intervalos iguales están considerando sus intervalos iguales para la variable independiente en este caso el eje del tiempo como estamos considerando un intervalo de 12 segundos cada sub intervalo va a tener una duración de 12 entre 62 segundos vamos a marcar entonces esos rectángulos el primer vídeo en 2 no voy a usar otro color mejor aquí tenemos no parece otro color bueno es azul no voy a usar mejor un color que contraste más aquí tenemos entonces los rectángulos cuya base es 2 y solo he puesto el inicio del trazo pues necesitamos determinar cuál va a ser la altura pues aquí nos dicen que tomemos rectángulos circunscritos y que son rectángulos circunscritos bien eso quiere decir que la altura va a estar determinada al evaluar la función en el extremo derecho del sub intervalo así entonces para el primer rectángulo cuyo extremo derecho son dos segundos la altura va a ser la velocidad a los dos segundos que es seis pies por segundo esa va a ser la altura del primer rectángulo para el segundo rectángulo esta va a ser la altura y aquí te podrías preguntar cómo serían los rectángulos si no fueran circunscritos es decir rectángulos inscritos en los cuales la altura se toma evaluando la función del lado izquierdo así es que para el primer rectángulo por ejemplo en el extremo izquierdo la función vale cero para el siguiente rectángulo el extremo izquierdo está en dos segundos así es que la altura para este siguiente rectángulo son seis así es que para el segundo rectángulo inscrito la altura sería esta de aquí más o menos así sería el rectángulo en fin nos están pidiendo rectángulos circunscritos hagamos rectángulos circunscritos déjame borrar esto bien perfecto así es que este sería el primer rectángulo circunscrito aquí estaría el segundo sólo voy a dibujar las partes de arriba el tercero el cuarto el quinto y el sexto vamos a completar los rectángulos aquí tenemos el segundo este es el tercero este de aquí es el cuarto rectángulo el quinto y finalmente nuestro sexto rectángulo circunscrito bien ahora nos están diciendo que r mayúscula de 6 es la suma de estos rectángulos y nos dicen que r mayúscula de 6 es una aproximación de la distancia total recorrida en pies durante los 12 segundos y por qué es eso porque la suma de estas áreas es una aproximación de la distancia total recorrida bien mucho antes del cálculo aprendimos que si teníamos una velocidad constante entonces la distancia recorrida es igual a velocidad por tiempo precisemos que esta velocidad es constante pero la velocidad en este ejemplo está cambiando el ciclista está acelerando sin embargo podríamos aproximar la distancia recorrida si suponemos que la velocidad puede ser constante por intervalos en este caso intervalos de 2 segundos ahora cuando tomamos estos rectángulos circunscritos a veces enfoquémonos en este primer rectángulo cuando cálculo el área de este primer rectángulo que estoy haciendo estoy multiplicando la altura por la base la altura es la velocidad del ciclista a los 2 segundos y la base es el intervalo de 2 segundos cuando multiplicamos 6 pies por segundo por 2 segundos obtenemos 12 pies vamos a escribirlo aquí el área de este rectángulo es igual a la velocidad aunque de hecho en la rapidez pero no nos vamos a preocupar ahorita por la dirección del movimiento la velocidad seis pies por segundo multiplicada por dos segundos y eso nos va a dar igual a doce pies doce pies eso obviamente es una aproximación pues el ciclista viajo a cierta velocidad que no era constante pero la pregunta es la aproximación está subestimando o sobreestimando el valor verdadero bien en este caso claramente la aproximación está sobre estimando pues estamos tomando la velocidad a los dos segundos que es la mayor del intervalo el ciclista empezó a cero pies por segundo así es que aquí estamos sobre estimando la distancia te invito a que le pongas pausa el vídeo y te des cuenta que si los rectángulos hubieran sido inscritos estaríamos subestimando la distancia pues multiplicaremos la menor de los ida del intervalo por la longitud del intervalo recordemos que esta es una aproximación calculemos ahora rd6 rd6 es igual al área de este rectángulo que como dijimos es que como hemos calculado es igual a 6 pies por segundo por 2 segundos esto es igual a 12 pies a eso le sumamos el área de este rectángulo que va a ser ambos esto es 7.5 pies por segundo x 2 segundos esto es 15 pies así es que más 15 y aquí podemos ver en el área al rectángulo que va a ser 3 pies más 12 y la mitad de 2 que hay aquí es decir 3 pies más y luego tenemos el área de este rectángulo que va a ser 8.5 pies por segundo la velocidad al final del intervalo multiplicada por dos segundos esto es igual a 17 más 17 pies más esta área que es la velocidad al final del intervalo que es cuánto es esto es 9 pies por segundo por 2 segundos esto va a ser igual a 18 pies más 18 pies y luego tenemos esta área de aquí que vamos a calcular como la velocidad al final del intervalo que es 9.5 pies por segundo multiplicado por dos segundos más 19 pies 19 y más finalmente esta área que va a ser la velocidad al final del intervalo 10 pies por segundo por dos segundos más 20 y esto cuánto nos va a dar veamos y aquí es donde suelo cometer errores aquí tenemos 12 más 15 esto es 27 más 17 27 10 37 más 7 44 esto va a ser 44 más 18 44 10 54 y 8 62 más 62 44 más 18 son 62 más 1962 más 1981 y más 20 esto es igual a 101 pies así es que erre mayúscula de 6 es igual a 101 pies es una aproximación para la distancia total recorrida durante 12 segundos que en realidad es una sobreestimación pues para cada intervalo estamos suponiendo constante la máxima velocidad de ese intervalo si tomáramos la menor velocidad del intervalo los rectángulos serían inscritos y estaríamos subestimando esa distancia una mejor aproximación se obtendría promediando esas velocidades por ejemplo si tomáramos la altura aquí en tres para este primer rectángulo o algo similar pero esto lo vamos a ver en futuros vídeos