Sumas trapezoidales

por pura diversión vamos a aproximar el área que queda por debajo de la gráfica de la función f x igual a raíz de x1 en el intervalo 16 es decir vamos a aproximar el área de esta región de aquí que estoy sombreando va deja mejorar esto que acabo de poner y para realizar esta aproximación lo que vamos a utilizar son 5 trapecios 5 trapecios trapecios con el mismo largo vamos a ver cuánto tendría que ser este largo va pues mira tenemos que avanzar de 1 a 6 entonces tenemos que avanzar 6 menos 1 unidades o sea 5 y esas tenemos que repartir las equitativamente 5 en 5 trapecios entonces el largo de cada uno de los trapecios de 55 que es igual a 1 déjame ponerle un nombre a esto vamos a llamarle delta x que es 1 y entonces delta x es es justo 1 verdad bueno entonces vamos a dibujar nuestros 5 trapecios para ver cómo quedarían nuestro primer trapecio empieza aquí en el 1 entonces su altura aquí del lado izquierdo su lado izquierdo sería f 1 que es 0 y su lado derecho sería f 2 déjame marcar aquí efe 2 y de hecho este trapecio es un poco curioso verdad este trapecio más bien es un triángulo pero está bien no sea es un trapecio degenerado es un caso especial de trapecio en el cual uno de los lados mide 0 déjame marcar esta área así la voy a sombrear así con naranja vamos al segundo trapecio el segundo trapecio es de este lado tendrían altura fdf 2 y acá tendría de altura entre 3 entonces voy a pintar aquí entre 3 de altura y tendríamos algo más o menos de este estilo va este sería el segundo trapecio el tercer trapecio misma idea de este lado tiene efe de 4 de altura de este lado tiene efe de 3 entonces sus lados paralelos miden efe de 3 y fv 4 y el área el área sería ésta de acá sería esta región vamos con el tercer trapecio el tercer trapecio sube hasta acá un lado paralelo bueno uno de los lados paralelos mide efe de cuatro y el otro mide efe de cinco entonces tendríamos un trapecio de esta forma y finalmente el último y quinto trapecio lo voy a poner aquí con color rojo y misma idea vale entonces tenemos esta altura qué es efe de 6 tenemos esta otra altura que ese f de 5 entonces los de los lados paralelos miden f 5 y f de 6 y queremos calcular esta área de acá excelente entonces justo vamos a hacer esto vamos a calcular el área de cada uno de estos trapecios y vamos a sumar todas esas áreas para obtener nuestra aproximación vamos con el primer trapecio triángulo o trapecio degenerado bueno vamos a utilizar la fórmula de área de trapecio para ver que también funciona en este caso aunque nos quede un triángulo va entonces cuál sería el área de este trapecio pues tendríamos que promediar sus lados paralelos nos quedaría f1 f2 entre 2 y luego tendríamos que multiplicar por la distancia entre los lados por delta x fíjate aquí no hay problema porque como f1 es cero como f 10 nos queda f 2 por delta equis o sea altura por base dividido entre 2 es el área de un triángulo está padre verdad la fórmula de área para trapecio también funciona para trapecios degenerados para triángulos bueno pasemos con el segundo que ya no es tan emocionante pero igual está padre nos quedaría el promedio de los lados paralelos efe de 273 entre 2 entre 2 x el largo que delta x con el tercer trapecio tenemos algo similar f3f de 4 dividido entre 2 este es el promedio de los lados paralelos multiplicado por la distancia entre esos lados más ahora vamos con el trapecio verde ya ya se ve la idea verdad efe de 4 más de 5 dividido entre 2 dividido entre 2 por delta equis y finalmente el último creo que no va a caber por acá entonces voy a ponerlo tantito abajo sería f 5f de 5 + + efe de 6 dividido entre 2 dividido entre 2 x la distancia entre los lados paralelos por delta x muy bien entonces estoy acá ya es nuestra aproximación y pues recuerda en realidad si es una aproximación ahorita la simplificamos porque se puede simplificar todos tienen delta x entre 2 pero antes de eso déjame recordar que todo esto es nada más una aproximación aquí parece estar una aproximación muy buena aquí se parece se pega muchísimo a la gráfica de la función pero tenemos que recordar que en realidad no es así en realidad sobran cachitos aquí sobra tantito aquí sobra tantito y sobra tantito por todas partes sobre tantito sin aunque no parezca sobra un cachito entonces esta es una aproximación para el área déjame escribirlo así esto de aquí es el área aproximada área aproximadamente es igual a esto y ahora sí vamos a simplificar un poquito para ver que nos queda entonces esto es igual a vamos a factorizar el delta x entre 2 de esta x entre 2 ya todo lo voy a poner con este color crema para para no andar cambiando de colores y vamos a ver que nos quedaría dentro del paréntesis pues ve nos queda un f1 nos queda un f1 luego hay que sumar aquí hay un f de 2 y aquí hay otro f de 2 entonces son dos veces ejes de 2 2 veces f de dos más también nos queda dos veces f de tres y lo estoy escribiendo de esta manera porque así lo escriben en los libros y en los libros se escriben esta fórmula que ahorita voy a terminar de escribir pero pero bueno ahorita hablamos un poco de eso vamos a seguirle dos veces efe de cuatro más dos veces efe de cinco más efe ya nada más una vez para más de seis entonces esto es para cinco trapecios pero si lo quisiéramos hacer en general pues hay que sumar una vez efe en el extremo izquierdo y una vez efe en el extremo derecho y todo lo demás todo lo que queda en medio la efe evaluar en esos puntos se repite dos veces para bueno estás aquí en la formulita yo no soy un gran fan de que le escriban directamente en los libros así sin dar explicaciones porque no te dice a qué se refiere si no está muy padre éste verlo así de golpe pero pues teniendo este dibujo uno entiende mucho más qué es lo que está sucediendo bueno bueno ya con esto en mente vamos a evaluar si sabemos quién es delta xy conocemos cuál es la función entonces vamos a cambiar ahora sí todo esto por numeritos para ver cuánto nos queda este delta x es un 1 afuera nos queda un medio efe de uno es cero eso ya lo platicamos cuando vimos lo del triángulo pero se ve aquí arriba verdad efe de uno es raíz de cero verdad entonces nos queda 0 aquí es dos veces f 2 si ponemos aquí 2 nos queda a raíz de 1 entonces nos quedaría este 2 nada más ver a 2 x raíz de 1 y nos quedaría 2 x raíz de dos porque metemos 3 y nos queda la raíz de dos metiendo 4 en esta expresión nos queda raíz de tres entonces sería dos veces raíz de tres metiéndose 5 nos queda raíz de 4 que es 2 x este 2 es un 4 2 por dos es cuatro y finalmente hay que hacer efe de seis ya nada más una vez entonces nos vamos acá efe de 6 es raíz de 5 bueno entonces nos queda aquí raíz de 5 excelente esto de aquí es la aproximación así en términos de raíces pero pues para encontrar un numerito vamos a meter esto a la calculadora a ver cuánto nos da exacta la cálculo déjame déjame prenderla ok y hay que multiplicar 0.5 ese es el un medio por voy a abrir paréntesis por 0 más bueno el 0 no tenía que ponerlo pero lo pongo para saber en dónde voy más 2 más 2 por raíz de 2 cierro paréntesis de la raíz más 2 por raíz de 3 cierro paréntesis de la raíz más 44 más raíz de 5 cierro paréntesis de la raíz y cierro el paréntesis de la multiplicación de afuera y eso nos queda redoble de tambores este numerito de acá de 7.26 429 luego ya lo voy a este redondear como 7.26 vale 12 7.26 el área es aproximadamente igual a 7.26 muy bien entonces aquí ya tenemos un numerito y esta área es una aproximación para el área por debajo de la gráfica de esta función entonces con esto aproximamos el área por debajo de la función fx igual a raíz d 1 en el intervalo 16 y esto lo logramos utilizando una aproximación con 5 trapecios