Problema largo de sustitución trigonométrica

digamos que tenemos la integral indefinida de la raíz de 6x - x cuadrada menos 5 y está pues como se ve no es una integral inmediata ni tengo a la mano la derivada de esta expresión así que no puedo hacer una sustitución directamente y tendremos que ser ingeniosos para resolverlo como lo sugiere el nombre del vídeo e intentaremos una sustitución trigonométricas pero esta expresión tampoco se parece a las sustituciones trigonométricas que estamos acostumbrados que tienen la forma 1 - x cuadrada o x cuadrada menos 1 x cuadrado + 1 la expresión que tenemos tiene un radical tiene algo con x al cuadrado más o menos se parece pero veamos que podemos hacer para convertirla en una expresión que tenga la forma de las que conocemos ahora déjame borrar todo esto que tengo aquí y vamos a regresar a nuestra expresión y vamos a ver si es posible completar el cuadrado aquí recordarás que completar cuadrados lo hemos hecho ya en diversos vídeos y esto lo voy a escribir como como menos 5 - y déjame escribirlo así x cuadrada menos 6 x bueno aquí afuera tengo 6 x positivo pero menos menos me da más y ahora quiero que esto sea un cuadrado perfecto o sea que el número tengo que encontrar que cuando lo sumo a sí mismo me da menos 6 pues será el menos 3 y al elevarlo al cuadrado me da 9 así que es menos 3 y al cuadrado pues lo tengo que escribir como 9 pero veamos no puedo sumar arbitrariamente un 9 aquí bueno de hecho no lo sume de lorre este porque aquí hay un menos y aquí hay un más este es un -9 entonces para neutralizar este -9 que está aquí tengo que sumar un 9 entonces aquí sumó 9 el claro por la cábala de x y todo esto tiene sentido porque veamos si yo multiplico este menos que está aquí afuera pues voy a obtener el menos x cuadrada el menos x menos 6 x me da 6 x positivo que es lo que tengo aquí y luego tengo un -9 que se cancela con este más 9 que está acá y regreso a la expresión original si yo agrego un -9 y un +9 pues estoy agregando un 0 que no hace nada bueno esto de acá se simplifica en un 4 y esta expresión que está aquí se convierte en x menos 3 al cuadrado me integral indefinida ahora se verá así claro todo lo que he hecho solo es manipulación algebraica y ahora será la integral indefinida de la raíz de 4 menos x menos 3 al cuadrado de x y observamos que empieza a tomar una forma de las que me gustan de la que estoy buscando bueno ahora necesitamos trabajar porque quiero un 1 aquí entonces vamos a factorizar el 4 aquí afuera y entonces esto será igual a ésta será la integral voy a poner un radical aquí de 4 veces de 4 que está multiplicando a 1 - x 3 al cuadrado sobre cuatro de x y podemos ver que esto cada vez se parece más a la forma que estoy buscando a ver vamos a simplificar un poco más esta expresión y ahora pues puedo sacar el 4 de la raíz y lo pongo como la integral de dos veces la raíz de 1 - a ver mejor voy a reescribir esto no que sea 1 - x menos 3 dividido entre 2 todo al cuadrado de x me dirás de dónde saqué este 2 bueno es nada mas elevándolo al cuadrado o sea si yo elevó x menos 3 al cuadrado tengo el término de arriba y 2 al cuadrado es el numerador que yo tenía 4 pero la que está de este lado se parece a una de las formas que yo conozco recordemos en otros vídeos hemos mencionado que coseno cuadrado de teta es igual a 1 menos seno cuadrado de teta pero miren esto estas dos expresiones se ven exactamente igual y más aún si yo dijera que esto que está aquí es exactamente igual a seno cuadrado de teta y bueno ahora hagamos la sustitución si está digamos que x menos tres entre dos al cuadrado ahora será igual hacen o cuadrado de teta tomemos ahora la raíz cuadrada en ambos lados y entonces esto quedará como x 3 entre 2 es igual al seno de teta eventualmente esto desaparecerá y tendremos que resolver todo en términos de teta así que vamos a hacerlo vamos a ver quién éste está en términos de x y para poner a theta en términos de x pues tomamos el arco seno de ambos lados y si claro este lado el arco seno del seno del pp simplemente teta y nos va a quedar que teta es igualar coseno de x menos 3 entre 2 suficiente hasta aquí ahora también tendremos que ver quién es de x en términos de teta así que vamos a hacerlo y entonces ahora veamos si yo multiplico ambos lados de la ecuación por 2 voy a obtener que x menos 3 es igual a dos veces el seno de eta por lo que x es igual a 2 seno de teta más 3 y ahora tomamos la derivada con respecto al dt en ambos lados y me queda de x en de teta es igual a dos veces el coste no detecta la derivada de tres pues es cero y ahora multiplicando de teta tengo que de x es igualdad 2 coseno de teta de teta y ahora estamos listos para hacer la sustitución en nuestra integral indefinida en nuestra integral se verá así la integral indefinida de dos veces la raíz de uno menos seno cuadrado de teta de x pero de x es igual a 2 josé no de teta de teta entonces aquí escribo 2 coseno de teta del theta ii sigamos simplificando entonces este término que tengo aquí es simplemente coseno cuadrado de teta y aquí estamos tomando la raíz cuadrada de coseno cuadrado de teta sí o sea todo esto que está aquí va a ser la raíz de coseno cuadrado de teta que es simplemente coseno de t está nuestra integral ahora se ve como esto esto será la integral indefinida de dos veces la raíz de coseno cuadrado de teta que ya dijimos que es coseno de teta por dos coseno detecta si lo que está aquí este término es exactamente el que está aquí y todo este radical se simplificó en esta expresión o sea teníamos la raíz de uno menos seno cuadrado de teta que fue concentrado de teta y se simplificó nada más en esto que está aquí detecta y entonces todo esto se convierte cuatro veces el coseno cuadrado de teta de teta tenemos ahora está pero la verdad tampoco es una integral muy fácil de resolver no es inmediata no puedo hacer sustitución o directamente entonces qué es lo que vamos a hacer así que una vez más tendremos que regresar a las identidades trigonométricas bueno a ver si recuerdas esta y si no está siempre en los libros de trigonometría y los de cálculo es una identidad muy conocida en la que dice que coseno cuadrado de teta es igual a un medio de uno más el coseno de dos teta esta la he demostrado ya en otros vídeos hagamos la sustitución entonces esta integral va a ser ahora la integral de 4 veces un medio de uno más el coseno de dos tetas detesta y esto empieza a verse bien y se simplifica en bueno 4 por un medio esto es 12 y entonces esto lo vamos a reescribir como la integral de 2 más 2 coseno de 2 teta todo esto de teta esta es una integral pues ya muy directa a ver veamos qué es esto que está aquí pues es la derivada con respecto a teta del coseno de no no no es no es la derivada con respecto a teta de seno de dos teta y es lo que está aquí o sea tomando la derivada de lo que está afuera que es el coseno de dos teta y lo multiplicamos por la derivada de lo que está dentro que es el 2 entonces tenemos esto que está aquí el anti derivada de lo que está aquí ya sabe el 2 pues va a ser simplemente 2 teta y entonces vayamos reescribiendo entonces tenemos el 2 teta más el seno de dos tetas pues más una constante pero no podemos olvidar que nuestro problema inicial está en términos de x no detecta a osea ahora tendremos que hacer una nueva sustitución regresar nuestra expresión todo en términos de x si observemos lo que teníamos vamos a escribirlo aquí al ladito o sea theta es igual al arco seno de x 3 entre 2 y veamos si ahora yo hiciera la sustitución de esto que está aquí directamente o sea poner dos veces el arco seno de x menos 3 entre 2 más el seno de 2 veces el arco seno de x menos 3 sobre 2 bueno eso sería correcto eso podemos hacerlo pero no es una solución muy bonita muy elegante digamos o sea si tomo el seno del arco seno pues esto nada más se va a simplificar a x menos 3 entre 2 voy a tratar de aclarar mis ideas yo quiero escribir esto en términos de theta o sea escribir el seno de teta es igual al seno del arco seno de x 3 sobre 2 y esto se simplifica a x 3 sobre 2 y si yo pudiera escribir esto en términos de seno de teta entonces las cosas se simplificarían mucho y vamos a ver si podemos hacerlo pero tendremos que utilizar otra identidad que no sé si la tengas en mente ahorita si las recuerdas yo ya la probé en otro vídeo y es la que me dice que el seno de 2 teta que es igual al seno de eta más teta si voy a escribir seno de teta mastretta está es igual al seno de t tacos seno de teta más el seno de teta más el coche no detecta que todo se simplifica en dos veces el seno de teta coseno detectan algunas personas memorizan esto para los exámenes o sea que si pronto tienes un examen de trigonometría p sería buena idea recordarlo pero continuemos ahora no está integral en términos de teta la vamos a reescribir como dos tetas más dos veces el seno de teta coseno de teta más c y yo quisiera seguir escribiendo esto en términos solo del seno de teta así que veamos que podemos hacer con este coche no detecta que tenemos aquí y recordemos en que coseno cuadrado de teta es igual a 1 menos seno cuadrado de teta de lo que puedo decir que el coche no de teta es igual a la raíz de uno menos el seno cuadrado de teta pudiera parecer que nos estamos complicando mucho pero lo importante es expresar esto nada más en términos de seno de teta así que no está anti derivada ahora la vamos a escribir como dos tetas más dos veces el seno de teta por el coseno de teta que es esto que está aquí que es la raíz de uno menos seno cuadrado de teta más c y ahora pues continuemos si recuerdas el seno de teta es igual a x menos 3 entre 2 entonces ahora hagamos esta sustitución y esto que tenemos aquí es 2 teta y entonces va a ser dos veces declaró no nos podemos escapar del arco seno entonces es dos veces el arco seno de x menos tres entre dos más y ahora más y ahora vamos a cambiar colores entonces tenemos más dos veces el seno de teta y esto es igual a dos veces x menos 3 entre 2 pues eso es seno de teta y todo eso por la raíz de 1 - es el cuadrado de teta pero quienes seno cuadrado de teta pues es x menos 3 sobre 2 al cuadrado y yo obviamente pues más la constante vamos a ver si podemos simplificar aún más esto vamos a ver entonces tenemos dos veces el arco seno de x 3 entre 2 más aquí estos dos se cancelan es que simplemente me queda x menos 3 x la raíz de haber a mí me gustaría poder describir esto de otra manera a ver si fuera la raíz de vamos a ponerlo así uno menos x menos 3 al cuadrado sobre 4 si que sea x menos 3 al cuadrado sobre 4 la verdad esta simplificación me está tomando mucho más de lo que me imaginaba pero bueno vamos a seguir trabajando a mí lo que me gustaría ahora es reescribir esto que está aquí como y entonces a esto que está aquí afuera me gustaría multiplicarlo por todos y dividirlo si no voy a multiplicar y dividir por dos si entre dos entre dos y dirás oye por qué estás haciendo esto y es que lo que quiero es reescribir lo de esta manera osea veamos esto va a ser dos veces el arco seno de x menos 3 entre 2 y ahora voy a reorganizar este este denominador que está aquí vamos a escribirlo como x menos 3 entre 2 si este 2 que está aquí es el que corresponde al que había yo puesto de este lado y ahora el 2 lo voy a reescribir como la raíz de 4 o sea que será la raíz de 4 que multiplica a la raíz de 1 - x menos 3 al cuadrado sobre 4 + c y bueno ya estoy muy cerca ya que así lo logró entonces esto lo voy a reescribir como otra vez dos veces el arco seno de x menos 3 sobre 2 más más x menos 3 entre 2 y ahora voy a meter este 4 a la otra raíz o sea que esto va a ser la raíz de 4 - x menos 3 al cuadrado más c y escribiéndolo una vez más tenemos dos veces el arco seno de x 3 entre 2 más x menos 3 entre 2 y ahora vamos con el radical este es 4 - x cuadrada menos vamos a describir lo vamos a desarrollarlo sería menos x cuadrada menos 6 x más 9 y esto que está aquí - menos 6 x 6 x tengo menos equis cuadrada menos 5 y esto que está aquí es con lo que habíamos empezado esta es nuestra anti derivada que habíamos empezado y lo que tenemos es dos veces el arco seno de x 3 entre 2 más x menos tres entre dos más este radical que es 6x - x cuadrado menos 5 y todo todo esto que está aquí es nuestra anti derivada original de lo que tenemos aquí arriba si a los que teníamos aquí si a lo que teníamos aquí que es la anti derivada de la raíz de 6 x x cuadrado menos 5 de x yo creo que ésta es igual de cansado que yo la verdad mi mano ya no aguanta este problema para nada es fácil qué bueno terminamos nos vemos en el próximo vídeo