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Introducción a la sustitución trigonométrica

Transcripción del video

digamos que queremos evaluar esta integral indefinida le echas un vistazo rápido observas esta raíz de 4 - x al cuadrado y dices bueno intentaremos resolver esta integral utilizando una sustitución pero lo intentas y no funcione la sustitución realmente no hace que esta expresión se simplifique y entonces te quedas mirando fijamente y dices bueno a ver esta raíz de 4 - x han cuadrado me recuerda al teorema de pitágoras aunque te recuerda por ejemplo un triángulo rectángulo que tiene una hipoteca en usa de tamaño voz y esta expresión sería lo que obtendríamos si uno de los lados uno de los catetos fuera x y quisiéramos encontrar el otro cateto aunque hay por qué entonces para encontrar la longitud del otro capeto tendríamos la hipotenusa al cuadrado o sea 2 al cuadrado - el otro cateto al cuadrado o sea x al cuadrado y tomamos la raíz de eso según el teorema de pitágoras entonces vamos a explorar un poco más a fondo esa idea así es que tenemos un triángulo rectángulo por aquí y si por alguna razón esto no te recordó al teorema de pitágoras no hay ningún problema la verdad es muy probable que la primera vez que yo vi esta expresión tampoco me haya acordado del teorema de pitágoras pero es una muy buena forma de recordarlo así es que digamos que tenemos este triángulo rectángulo y vamos a ver claramente todo eso que estábamos diciendo acerca de esta raíz entonces si la hipotenusa de este triángulo rectángulo es 2 esta es la hipotenusa del triángulo rectángulo la hipotenusa mide 2 y si este lado de aquí este cateto de aquí tiene una longitud x que lo sé es un poco contraintuitivo que éste cateto sea el cateto x porque generalmente esta dirección y esto la 2 los asociamos con ye y estos lados los asociamos con x pero para no hacer un relajo en la pantalla vamos a decir que esté al lado es el que mide x pero bueno si ésta es la hipotenusa y esté acá te tome dx entonces cuánto mide este otro lado de aquí cuando me ve este lado de aquí pues si utilizamos el teorema de pitágoras la longitud de este cateto es la raíz de la hipotenusa al cuadrado pero dos al cuadrado es simplemente 4 - la longitud del otro cateto al cuadrado aunque ello sea menos x al cuadrado y eso está súper curioso no está súper interesante y es justo lo que estábamos diciendo hace unos cuantos minutos ahora aunque esté muy interesante eso como no sirve como nos ayuda a resolver esta integral y justo en ese punto es donde entra la trigonometría porque si tomamos este ángulo y lo llamamos teta entonces cuales once no detectan y coseno beteta en términos de los lados de este triángulo pues el pse no sé no ve eta es cateto puesto sobre hipotenusa porque ya entonces x entre dos horas y queremos despejar la x lo que nos queda es que x es igual a 2 por el seno de teca bueno pero qué hay del coce no detectan co seno de eta es igual al cateto adyacente entre la hipotenusa aunque ello sea ray de 4 - x al cuadrado entre dos o si queremos despejar este lado del triángulo entonces lo que nos queda es que la raíz de 4 - x al cuadrado es igual a 2 por el coche no detectan y eso está súper interesante porque si x es igualados por el seno de eta entonces toda esta expresión se simplifica a dos cosas no detectan y eso cómo vas a ver en unos momentos es más interesante de lo que te imaginas entonces vamos a hacer la sustitución x igual a 2 por seno de eta y si x es igual a dos porsche no detectan entonces de x es igualados por coseno de teta de eta y bueno si x es igual a 12 9 p ta entonces esta cosa de aquí como acabamos de ver es igual a 2 coseno beteta gay esto de aquí es igual a 2 coseno neta key hicimos todo esto imaginándonos este triángulo rectángulo y luego utilizamos las definiciones de seno y deco seno pero de cualquier forma si en algún momento decidimos hacer esta sustitución la consecuencia inmediata es que la raíz de 4 - x cuadrada tiene que ser igualados por coche no detectan y para llegar a eso simplemente sustitúyese el 2% o dt está aquí en esta x y utilizas algunas identidades trigonométricas y listo te queda dos por coseno beteta pero bueno eso no lo vamos a hacer por el momento más bien vamos a saltar nos lo íbamos a seguir con esta integral que está súper padre tenemos esta integral y éste uno de x lo tenemos por aquí de x2 x coce no detectan dt está entonces vamos a ponerlo por aquí 2 kosen no detectan de eta y está raíz de 4 - x cuadraba es otra vez dos por coste no detectan dos por coseno detecta y esto está súper padre porque esto es simplemente tf1 y entonces toda la integral se simplifica a de eta que si lo evaluamos en este intervalo indefinido éste está más una constante y pues esto está bastante padre pero pues teníamos aquí una integral en términos de x y nos gustaría obtener un resultado en términos de x y no en términos de ésta te está que pues la verdad otras personas no saben a qué nos referimos contenta si no ven todo lo que hicimos por aquí pero no hay ningún problema porque podemos escribir a teta en términos de x que hoy tenemos que x es igual a dos porsche no detectan vamos a escribirlo por aquí otra vez x es igual a 2 por seno de eta dividimos entre 2 y obtenemos que x entre dos igual hacen no detectan recuerda que ahora lo que queremos despejar este está y esto nos está diciendo que te está es el ángulo al cual si lo evalúa sense no te queda x entre dos entonces podríamos decir que te está es la función inversa de xenón seno función inversa evaluada en equis entre dos evaluadores en equis entre dos pero esta función inversa dc no tiene su nombre y es arco no la queremos evaluar en equis entre dos para obtener teta así es que ésta integral de aquí es igual eta es igual a arco seno de equis entre dos nadas una constante y listo ya terminamos acabamos de evaluar a esta integral indefinida ahora por aquí hay algunos detalles de los que tal vez te diste cuenta tal vez no pero hace muy rápido por aquí para no perder el hilo de la idea pero hay algunos detalles muy interesantes a los cuales les tenemos que prestar atención aquí el dominio de x está restringido y sería una excelente idea ver paso por paso qué pasa con el dominio bx cuando hacemos esta sustitución para estar seguros de que no estamos haciendo nada extraño que hay entonces vamos a verlo aquí el dominio de x vamos a ponerlo por aquí x tiene que ser mayor que menos dos y menor que dos porque si el valor absoluto de x fuera exactamente igual a 22 al cuadrado es 4 y aquí tendríamos un cero en el denominador que no puede suceder que hay no podemos dividir entre cero y si el valor absoluto de x fuera más grande que dos entonces estaríamos sacando la raíz de un número negativo o sea tendríamos un número imaginario y tampoco podemos hacer estas integrales entonces esto de aquí es nuestro dominio y queremos ver que esta sustitución no hace cosas extrañas con este dominio ok tenemos que x está entre -2 y 2 y x es igualados por seno de eta esto lo que significa es que dos porsche no detectan tiene que estar entre dos y un -2 y bueno aquí tenemos muchos dos podríamos dividir todo entre dos y lo que nos queda es que menos uno es menor que seno de eta lo cual tiene que ser menor que 1 y para que eso suceda podemos decir que te está es menor que pisó sobre dos y mayor que menos y sobre dos si te está cumple con estas desigualdades entonces seno de eta también y por lo tanto x también gay senodep y medios es uno sino de menos pyme dioses -1 y entonces estamos restringiendo el dominio detecta y dx de una forma muy razonable y además funciona súper bien porque el dow niño de la función arcos en no es justo este de aquí de menos pyme dios hapy medios así es que por lo menos con respecto a ese detalle nos podemos sentir muy bien ahora otro detalle por aquí estamos dividiendo entre dos cosas no detectan y eso no tiene ningún problema al menos de que cose no detectan sea igual a cero en algún punto de nuestro dominio porque no podemos dividir entre 0 pero lo bueno es que mientras eta sea mayor que menos pyme dios y menor que pyme dios josé no detectan va a ser distinto de cero lo que hay de hecho va a ser positivo si admitiéramos pyme dios o menos y medios dentro del dominio entonces coseno de tetas y sería igual a cero y tendríamos que pensar en alguna otra forma de restringir el dominio pero no los estamos agregando en el dominio en sí es que todo parece estar súper bien entonces teníamos aquí una integral encontramos una sustitución muy conveniente y llegamos a esta respuesta y luego nos fijamos en estos detalles que surgieron pero todo está muy bien con estos detalles el si es que nos podemos sentir bastante bien con esta respuesta