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Curso: Cálculo integral > Unidad 1

Lección 13: Integración con cambio de variable

Introducción al método de cambio de variable
Método de cambio de variable: multiplicación por una constante
Método de cambio de variable: definir 𝘶
Método de cambio de variable: definir 𝘶 (más ejemplos)
El método de cambio de variable
Método de cambio de variable: definir 𝘶
Método de cambio de variable: función racional
Método de cambio de variable: función logarítmica
Calentamiento sobre el método de cambio de variable
Método de cambio de variable: integrales indefinidas
Método de cambio de variable: integrales definidas
Método de cambio de variable con integrales definidas
Método de cambio de variable: integrales definidas
Método de cambio de variable: integral definida de una función exponencial
Método de cambio de variable: aplicación especial
Método de cambio de variable: doble cambio de variable
Método de cambio de variable: aplicación de desafío

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Integración con cambio de variable

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El método de cambio de variable

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El método de sustitución esencialmente revierte la regla de la cadena para derivadas. En otras palabras, nos ayuda a integrar composiciones de funciones.

Cuando buscamos antiderivadas, básicamente realizamos una "diferenciación inversa". En algunos casos, esta operación es muy sencilla. Por ejemplo, sabemos que la derivada de

x^{2}

‍ es

2 x

‍, por lo que

\int 2 x d x = x^{2} + C

‍. Podemos usar este sencillo razonamiento con otras funciones básicas, como

\sin (x)

‍,

e^{x}

‍,

\frac{1}{x}

‍, etcétera.

Otros casos, sin embargo, no son tan simples. Por ejemplo, ¿cuánto vale

\int \cos (3 x + 5) d x

‍? Pista: no es

\sin (3 x + 5) + C

‍. Intenta derivar y verás por qué.

\begin{aligned} \frac{d}{d x} [\sin (3 x + 5) + C] \\ = \cos (3 x + 5) \cdot \frac{d}{d x} [3 x + 5] \\ = 3 \cos (3 x + 5) \end{aligned}

‍

Así, observamos que

\sin (3 x + 5) + C

‍ es la integral definida de

3 \cos (3 x + 5)

‍, pero no de

\cos (3 x + 5)

‍.

Un método que puede ser muy útil es un cambio de variables‍, que básicamente es el inverso de la regla de la cadena.

Usar ‍cambio de variables en integrales indefinidas

Imagina que nos piden encontrar

\int 2 x \cos (x^{2}) d x

‍. Observa que

2 x

‍ es la derivada de

x^{2}

‍, que es la función "interior" de la función compuesta

\cos (x^{2})

‍. En otras palabras, si

u (x) = x^{2}

‍ y

w (x) = \cos (x)

‍, entonces:

\overset{u^{'}}{\overset{⏞}{2 x}} \underset{w}{\underset{⏟}{\cos (\overset{u}{\overset{⏞}{x^{2}}})}} = u^{'} (x) w (u (x))

‍

Esto siguiere que podemos usar un

‍cambio de variable. Veamos cómo se hace.

Primero, derivamos la ecuación

u = x^{2}

‍ con respecto a

x

‍, donde tratamos la variable

u

‍ como una función implícita de

x

‍.

\begin{aligned} u & = x^{2} \\ \frac{d}{d x} [u] & = \frac{d}{d x} [x^{2}] \\ \frac{d u}{d x} & = 2 x \\ d u & = 2 x d x \end{aligned}

‍

En la última igualdad, multiplicamos la ecuación por

d x

‍ para despejar

d u

‍. Esto es poco ortodoxo, pero útil para nuestro siguiente paso. Así, tenemos que

u = x^{2}

‍ y

d u = 2 x d x

‍. Ahora podemos realizar una sustitución en la integral:

\begin{aligned} \int 2 x \cos (x^{2}) d x \\ = \int \cos (\underset{u}{\underset{⏟}{x^{2}}}) \underset{d u}{\underset{⏟}{2 x d x}} & Reordena. \\ = \int \cos (u) d u & Sustituye. \end{aligned}

‍

Después de la sustitución tenemos una expresión para la antiderivada de

\cos (u)

‍ en términos de

u

‍. ¡Qué conveniente!

\cos (u)

‍ es una función básica, por lo que podemos encontrar su antiderivada de forma sencilla. Lo único que queda por hacer es escribir la función en términos de

x

‍:

\begin{aligned} \int \cos (u) d u \\ = \sin (u) + C \\ = \sin (x^{2}) + C \end{aligned}

‍

En conclusión,

\int 2 x \cos (x^{2}) d x

‍ is

\sin (x^{2}) + C

‍. Puedes derivar

\sin (x^{2}) + C

‍ para verificar que es cierto.

Punto clave #1: un

‍cambio de variable es básicamente invertir la regla de la cadena:

De acuerdo con la regla de la cadena, la derivada de $w (u (x))$ ‍ es $w^{'} (u (x)) \cdot u^{'} (x)$ ‍.
En un ‍cambio de variable, tomamos una expresión de la forma $w^{'} (u (x)) \cdot u^{'} (x)$ ‍ y encontramos su antiderivada, $w (u (x))$ ‍.

Punto clave #2: un

‍cambio de variable nos ayuda a simplificar una expresión complicada al volver una variable la función "interior".

Problema 1.A

El conjunto de problemas 1 te guiará por todos los pasos necesarios para encontrar la integral siguiente por medio de un

‍cambio de variable:

\int (6 x^{2}) (2 x^{3} + 5)^{6} d x = ?

‍

¿Cómo debemos definir $u$ ‍?

Escoge 1 respuesta:

(Elección A)
$u = 2 x^{3} + 5$ ‍
(Elección B)
$u = (2 x^{3} + 5)^{6}$ ‍
(Elección C)
$u = 6 x^{2}$ ‍
(Elección D)
$u = x^{6}$ ‍

Error común: obtener expresiones equivocadas para $u$ ‍ o $d u$ ‍

Escoger la expresión equivocada para

u

‍ resultará en la respuesta incorrecta. Por ejemplo, en el conjunto de problemas 1,

u

‍ debe definirse como

2 x^{3} + 5

‍. Hacer

u

‍

6 x^{2}

‍ o

(2 x^{3} + 5)^{6}

‍ nunca funcionará.

Recuerda: para poder aplicar un

‍cambio de variable, debemos ser capaces de escribir el integrando como

w (u (x)) \cdot u^{'} (x)

‍. Entonces,

u

‍ debe definirse como la función interior del factor compuesto.

Otro paso crucial en este proceso es encontrar

d u

‍. Asegúrate de que estás derivando

u

‍ correctamente, porque una expresión equivocada de

d u

‍ también resultará en una respuesta equivocada.

Problema 2

Se le pidió a Tim encontrar

\int \cos (5 x - 7) d x

‍. Esta es su respuesta:

\int \cos (5 x - 7) d x = \sin (5 x - 7) + C

‍

¿Es correcto el trabajo de Tim? Si no es así, ¿dónde está su error?

Escoge 1 respuesta:

(Elección A)
El trabajo de Tim es correcto
(Elección B)
El trabajo de Tim es incorrecto. La antiderivada de $\cos (x)$ ‍ no es $\sin (x)$ ‍
(Elección C)
El trabajo de Tim es incorrecto. Ignoró el hecho de que $\cos (5 x - 7)$ ‍ es una función compuesta
(Elección D)
El trabajo de Tim es incorrecto. No debes sumar una constante $C$ ‍ cuando encuentras una integral indefinida

Error común: no darse cuenta de que hay que usar un ‍cambio de variable

recuerda: cuando integramos una función compuesta, no podemos simplemente tomar la antiderivada de la función exterior. Necesitamos usar un

‍cambio de variable.

W

‍ es la antiderivada de

w

‍, este punto puede expresarse matemáticamente de la siguiente manera:

\int w (u (x)) d x \neq W (u (x)) + C

‍

Otro error común: confundir la función interior y su derivada

Imagina que intentas encontrar

\int x^{2} \cos (2 x) d x

‍. Podrías decir "como

2 x

‍ es la derivada de

x^{2}

‍, podemos usar un

‍cambio de variable". De hecho, como un

‍cambio de variable requiere tomar la derivada de la función interior,

x^{2}

‍ debe ser la derivada de

2 x

‍ para que el

‍cambio de variable funcione. Como este no es el caso, no podemos aplicar un

‍cambio de variable.

A veces necesitamos multiplicar o dividir la integral por una constante.

Imagina que se nos pide encontrar

\int \sin (3 x + 5) d x

‍. Observa que mientras que tenemos una función compuesta,

\sin (3 x + 5)

‍, no es multiplicada por nada. Esto puede parecer raro al principio, pero procedamos y veamos qué ocurre.

Sea

u = 3 x + 5

‍. Entonces,

d u = 3 d x

‍. Ahora, sustituimos

u

‍ en la integral, no antes de realizar esta ingeniosa manipulación:

\int \sin (3 x + 5) d x = \frac{1}{3} \int \sin (3 x + 5) 3 d x

‍

¿Ves lo que hicimos? Para tener

3 d x

‍ en el integrando, multiplicamos toda la integral por

\frac{1}{3}

‍. De este modo podemos hacer un

‍cambio de variable y mantener el valor de la integral a la vez.

Continuemos con el cambio de variable:

\begin{aligned} \frac{1}{3} \int \sin (\underset{u}{\underset{⏟}{3 x + 5}}) \underset{d u}{\underset{⏟}{3 d x}} \\ = \frac{1}{3} \int \sin (u) d u \\ = - \frac{1}{3} \cos (u) + C \\ = - \frac{1}{3} \cos (3 x + 5) + C \end{aligned}

‍

Punto clave: a veces necesitamos multiplicar o dividir la integral completa por una constante, de tal manera que consigamos la forma apropiada para hacer un

‍cambio de variable sin alterar el valor de la integral.

Problema 3

\int (2 x + 7)^{3} d x = ?

‍

Escoge 1 respuesta:

(Elección A)
$\frac{(2 x + 7)^{4}}{2} + C$ ‍
(Elección B)
$\frac{(2 x + 7)^{4}}{4} + C$ ‍
(Elección C)
$\frac{(2 x + 7)^{4}}{8} + C$ ‍
(Elección D)
$\frac{(2 x + 7)^{4}}{16} + C$ ‍

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Laura Mendoza
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Cálculo integral

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Usar ‍ cambio de variables en integrales indefinidas

Error común: obtener expresiones equivocadas para u‍ o du‍

Error común: no darse cuenta de que hay que usar un ‍ cambio de variable

Otro error común: confundir la función interior y su derivada

A veces necesitamos multiplicar o dividir la integral por una constante.

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Error común: obtener expresiones equivocadas para $u$ ‍ o $d u$ ‍

Error común: no darse cuenta de que hay que usar un ‍cambio de variable