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Método de cambio de variable: doble cambio de variable

Transcripción del video

en esta ocasión tengo la integral del coseno de 5x / elevado al seno de 5x diferencial de x y como ya tenemos un poco más de experiencia con esto entonces seguramente me vas a decir vamos a resolverlo por un cambio de variable y en este caso me cambio de variable va a ser igual al seno de 5x y es igual al seno de 5x porque es la potencia de la función exponencial y bueno ya que tenemos nuestro cambio de variable vamos a sacar la derivada de eeuu con respecto a x dvd x es igual a 5 que es la derivada de lo que está dentro la derivada de 5x por el coseno de 5x que es la derivada del seno y esto sí lo escribimos en su forma diferencial nos va a quedar la diferencial de eeuu es igual a 5 veces el coseno de 5x y darse cuenta que es casi lo que tenemos aquí aquí ya tenemos el coseno de 5x diferencial de x diferencial de x de x no se me va a olvidar y bueno si se dan cuenta aquí ya casa tenemos la diferencial de v lo único que nos hace falta es un 5 por lo tanto me voy a tomar el atrevimiento de poner aquí un 5 y recuerden que si pongo dentro de la integral un 5 entonces tengo que poner afuera del integral un quinto es decir el inverso multiplicativo este es mi 1 fantasma porque 5 por un quinto me da 1 y recuerda que multiplicar por 1 pues no es hacer nada por lo tanto pues no estoy haciendo nada a esta integral sin embargo date cuenta de la importancia de este 5 porque este 5 ya me completa la diferencial de 1 y ya con esto entonces puedo hacer mi cambio de variable entonces me va a quedar un quinto y lo voy a poner con el mismo color un quinto de color magenta que multiplica a quien va a multiplicar a la integral de y bueno todo lo que está aquí arriba lo que está de azul es la diferencia del de 15 veces el coste no de 5x de x habíamos dicho que es la diferencia por lo tanto arriba me queda la diferencia entre el elevado al seno de 5x pero el seno de 5x en nuestro cambio de variable y por lo tanto me queda elevado a la 1 y perfecto ya hice mi cambio de variable ahora la pregunta es ustedes saben cómo ser suelo esta integral seguramente lo primero que me vas a decir es que esta es la integral de una función exponencial pero aquí hay un problema la exponencial está dividiendo entonces voy a escribirlo de la siguiente manera para que se vea de una manera mucho más sencilla de resolver esta integral esta expresión es lo mismo que un quinto del color magenta que multiplica a la integral amarilla de elevado a la menos un diferencial de v lo que hice fue utilizar las leyes de los exponentes y pasar la potencia como negativa porque estaba dividiendo pero en esta ocasión la función exponencial ya no está dividiendo la función exponencial está multiplicando al diferencial de uno sin embargo ahora date cuenta de que el problema es resolver la integral de elevado la menos o diferencial de eeuu y sin embargo la integral que yo me sé de memoria es la integral de el elevado diferencial de v aquí tenemos un problema con un signo por lo tanto voy a hacer un segundo cambio de variable y aquí está lo más importante de este vídeo voy a hacer un segundo cambio de variable el cual va a ser w es igual a menos y entonces la derivada de w con respecto a es igual a menos 1 en su forma diferencial me queda que de w es igual a menos de eeuu y bueno ya que tenemos esto lo que nos hace falta aquí es un signo de menos porque aquí tenemos a w y nos hace falta la de w pero de w es igual a menos de v por lo tanto nos hace falta un signo de menos que lo voy a poner aquí y si lo pongo aquí entonces también lo tengo que poner afuera porque recuerden que menos x menos me da más y entonces no afecta a esta igualdad de hecho también hay otra forma de ponerlo lo podríamos escribir de la siguiente manera si yo pongo un menos uno aquí y también pongo un menos uno al lado de la diferencial de uno y es otra vez el uno fantasma porque menos uno por menos uno me da uno positivo y ahora sí que tengo tengo que todo esto va a ser de w y me queda elevado a la w por lo tanto vamos a sustituir todo lo que tengo aquí haciendo mi nuevo cambio de variable es decir mi segundo cambio de variable por lo tanto haciendo el cambio de variable esto me queda menos un quinto porque es menos uno por un quinto y después pongo mi integral de amarillo y me queda elevado a la nueva variable que tengo es decir el elevado a la w entonces me queda elevado a la w y esto x menos dv es decir la diferencial de w por lo tanto al final me queda menos un quinto de la integral de ea la w de w la cual se ha convertido en una integral muy sencilla de resolver esta integral es la integral de la exponencial que siempre hemos resuelto por lo tanto esto es igual a menos un quinto lo voy a poner todo con sus respectivos colores este vídeo me está quedando súper colorido y es que me gustan los vídeos con muchos colores porque así nunca nos perdemos entonces me queda menos un quinto de elevado a la w más una constante de integración ya resolví mi integral ahora lo que hay que hacer es regresar todo el lenguaje del original es decir hacer la sustitución hacia atrás por lo tanto me va a quedar menos un quinto menos de verde un quinto de magenta de amarillo y w era igual a menos y por lo tanto en lugar de w voy a poner menos 1 ya esto hay que sumarle una constante de integración lo que estoy haciendo es mi primera sustitución hacia atrás y todavía hay que regresarnos más hacia atrás porque recuerden que mi variable original en la cual estaba escrita ese problema era la variable x porque recuerden que hice una doble sustitución y por lo tanto tengo que hacer una doble sustitución hacia atrás entonces vamos a sustituir en términos de x y entonces con todos los colores posibles me va a quedar menos un quinto que multiplica a elevado a la menos pero es igual al seno de 5x por lo tanto me queda menos un quinto de elevado a la menos seno de 5x ya todo esto hay que sumarle una constante de integración y justo ya con esto logramos resolver el ejercicio que teníamos en un principio pero eso y no vayas a olvidar nunca a regresar todo a términos de la variable original ahora bien seguramente y aunque no quiero entrar en un tema de debate pueden existir personas que me digan que esto puede salir de una manera mucho más rápida haciendo solamente un cambio de variable por lo tanto vamos a ver un método alternativo o un segundo método para resolver esta integral entonces acabo de escribir la integral con la que empezamos y bueno esto es lo mismo que la integral de coseno de 5x que multiplica a elevado a la menos 95 x diferencial de x y ojo estoy poniéndome exponente negativo porque estoy utilizando las leyes de los exponentes recuerden que los exponentes de una variable que estaba dividiendo pueden escribirse negativas cuando pasan multiplicando y bueno entonces sacamos el siguiente cambio de variable agarremos otra vez a la potencia de la función exponencial y me queda que es igual a menos de 95 x idv es igual a menos 5 veces conocer 95 x de x por lo tanto aquí me hace falta un 5 lo voy a poner afuera voy a multiplicar por menos un quinto y todo esto me da el 1 y ahora sí voy a hacer el cambio de variable me va a quedar menos un quinto de la integral y bueno lo primero que quiero que vean es que menos 50 95 x de x es la diferencial de eeuu y fue justo por esta razón que yo multiplique por el menos 5 con esta constante ajuste la integral para que ahora sí menos 5 095 xd xd de déu y por otro lado tengo el exponencial elevada a la menos 35 x que es y recuerden que fue mi cambio de variable y este cambio de variable me ayuda bastante porque ya sabemos resolver esta integral este es la integral que siempre está en los libros acerca del exponencial y tiene como solución lo que habíamos comentado hace rato esto tiene como solución menos un quinto ojo no olviden nunca la constante menos un quinto que va a multiplicar ha elevado a la u más c y ahora si ya que solucionamos esta integral perfecto pues entonces vamos a hacer el cambio de variable hacia atrás la sustitución hacia atrás es igual al menos 95 x y entonces me queda menos un quinto de él 95 x + c y llegamos al mismo resultado solamente que esta vez haciendo un cambio de variable al final si quieres hacer el primer método o el segundo método es decir haciendo una o dos cambios de variables es lo mismo lo más importante es que llegues a la solución y que te sientas cómodo con el método que vas a utilizar