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Contenido principal
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Método de cambio de variable: integrales definidas

Transcripción del video

lo que vamos a hacer en este vídeo será practicar la aplicación de la sustitución o en una integral definida digamos que tenemos la integral desde x igual a 1 hasta ex igualados de 2x que multiplica a x cuadrada más 1 esto elevado al cubo de así que ya te he dicho que voy a aplicar una sustitución sin embargo es importante ser capaz de saber cuándo utilizarla en este caso la clave está en que tengo es cuadrada más 1 y además tengo su derivada que es 2x entonces puedo hacer mi sustitución 1 y decir 1 va a ser igual a x cuadrada más 1 en cuyo caso la derivada de eeuu con respecto a x es igual a 2x y si lo escribo en una forma diferencial obtengo que la derivada de um es igual a 2x de x ahora déjame sustituirla en esta integral y en un segundo nos preocuparemos porque es lo que le pasa a los límites de integración y bueno me quedan la integral de m pongámoslo con el mismo color de un elevado al cubo esto es esta parte de aquí y después tengo 2x de x y como todos están multiplicando esto es lo mismo que d observa esto que acabo de poner de color verde es lo mismo que teníamos acá abajo de un es igual a 2 x x de x así que nos queda la integral de o elevado al cubo de eeuu y bueno hasta aquí parece todo fácil aunque nos quedamos con una pregunta interesante porque ésta no es una integral indefinida no queremos sólo uso anti derivada también queremos evaluarla en los límites de integración así que qué les pasa a los límites de integración bueno hay dos formas de resolverlo la primera es cambiando los límites de integración porque este límite es de x igual a 1 a x igualados pero ahora estamos integrando con respecto a 1 así que la primera de las formas si quieres conservar esto como una integral definida es cambiar los límites de integración desde igual a algo hasta igualar otro algo y veamos si x es igual a 1 cuánto vale un cuando x es igual a 11 va a ser igual a 1 elevado al cuadrado más uno lo cual es 2 entonces desde o igual a 2 y ahora cuando x es igual a 2 cuanto es un bueno tengo que es igual a 2 al cuadrado más uno lo cual es 5 entonces hasta y igual a 5 desde igualados hasta o igual a 5 tal vez no sea normal que se ponga que va desde igualados a igual a 5 simplemente se ponen los límites de integración pero hay que tener cuidado con ellos o bueno simplemente podemos poner la integral de 2 a 5 de un elevado al cubo de es importante que te des cuenta porque cambie los límites de integración usamos nuestra sustitución 1 para obtenerlos cuando x es igual a 1 o vale 2 y cuando x es igual a 2 o val de 5 y con esto ahora si podemos resolver esta integral de una manera sencilla tengo la anti derivada de un elevado al cubo bueno esto es muy fácil eso es elevado a la cuarta entre 4 y vamos a evaluar esto en 5 y en 2 y entonces esto va a ser igual a 5 elevado a la cuarta entre cuatro menos dos elevado a la cuarta entre cuatro y bueno puede simplificar esto si quieres o simplemente obtener el resultado de esta integral definida bueno esta es la primera forma de resolverlo pero me interesa ver la segunda así que la segunda forma es la siguiente primero hay que pensar en la integral indefinida con respecto a resolverla y cuando deshagas la sustitución y usar los límites de integración de nuevo los límites de integración de x es decir qué tal si primero intentamos resolver la integral indefinida de 2x que multiplican a x cuadrada más 1 esto elevado al cubo de ok y después sea cual sea la solución de esta integral de una manera algebraica evaluarla en los límites de integración es decir en x igualados tiene que es igual a 1 bueno si usamos la misma sustitución no vas a obtener que esta integral es lo mismo que la integral de un elevado al cubo de upp y claro sea cual sea la respuesta vamos a evaluar toda esta integral en x igualados y en x igual a 1 y entonces esto va a ser igual a veamos esto es un elevado en la cuarta entre 4 y una vez más esto evaluado en x igual a 2 y en next igual a 1 y ahora podemos regresar a nuestra variable original es decir deshacer la sustitución o y recordar que valían x cuadrada más 1 entonces esto me quedaría como x cuadrada más 1 esto elevado a la cuarta entre 4 esto evaluado en x igualdad 2 n que es igual a 1 y ahora observa vamos a llegar a lo mismo cuando pones x igualdad todos obtienes 2 elevado al cuadrado más uno lo cual de 5 esto elevado en la cuarta potencia y eso entre 4 y observa es justo lo que tenemos acá arriba y esto menos un elevado al cuadrado más 1 lo cual es 2 esto elevado en la cuarta potencia y eso entre 4 que también es lo que tenemos acá arriba así que de ambas formas llegas al mismo resultado puedes utilizar la integral definida y cambiar los límites de integración cuando hagas la sustitución 1 y obtener la respuesta al evaluar y esa sería una forma de resolverlo la primera o la otra forma es resolver la integral indefinida usando la sustitución o como paso intermedio después regresar a nuestra variable original y allí evaluar los límites de integración iniciales y con esto hemos terminado hasta la próxima