Método de cambio de variable: multiplicación por una constante

vamos a resolver la integral indefinida de la raíz de 7 x + 9 todo esto está dentro de la raíz diferencial de x y bueno la pregunta es podremos resolver esto por el método de integración que estamos viendo es decir por la sustitución y sí sí quién me voy a tomar como la función así que vamos a suponer que la función u es lo que está dentro de la raíz si fuera lo que está dentro de la raíz entonces quién sería su derivada entonces sería igual a 7 x + 9 y quién va a ser la derivada de la derivada de eeuu con respecto a x es igual a la derivada de 7x es 7 y la derivada una constante se va no es necesario ponerla por lo tanto aquí el problema es que no tenemos aquí el 7 por ningún lado por lo tanto qué es lo que podemos hacer y bueno uno se pondrá muy triste porque no saben este tipo de ejercicios sin embargo si hay forma de resolver este tipo de integrales y la forma es que nosotros podemos multiplicar por un escalar o por una constante la cual salga y entra de esta integral y es que nosotros tenemos una propiedad de la integral que dice algo así la integral es de una constante a por la función f x diferencial de x diferencial de x es igual a la constante a que multiplica a la integral efe de x diferencial de x es decir las constantes salen afuera de la integral y es justo esta propiedad la que voy a utilizar para poder resolver esta integral que tenemos en el problema original y que es lo que voy a hacer bueno aquí me falta un 7 que les parece si yo multiplico por un 7 como el 7 es una constante puedo multiplicar por el 7 porque puede salir o entrar de la integral y dejarme para no confundirlos ponerlo todo de este lado que me va a quedar bueno pues esto va a ser igual a la integral y no puedo multiplicar solamente por un 7 también tengo que dividir entre un 7 por lo tanto me va a quedar un séptimo por 7 por la raíz de 7 x más 9 diferencial de x y se dan cuenta 7 por un séptimo es lo mismo que 1 por lo tanto no estoy haciendo nada es un 1 fantasma y esto va a ser igual a un séptimo por la integral de 7 que multiplica a la raíz de 7 x + 9 diferencial de x dice fue sacar esta constante que no la necesito dentro de la integral porque la diferencial de v con respecto a x solamente es 7 por lo tanto ahora sí que es lo que voy a hacer bueno la derivada de eeuu es igual a 7 veces la diferencial de x aquí lo único que hizo fue pasar multiplicando la diferencia del de x y que creen aquí está este y este es la diferencia al de eeuu y ya la tengo por fin y también por otra parte lo que está dentro de la raíz es por lo tanto ya puedo resolver esta integral que me va a quedar bueno esto lo voy a escribir ahora sí en términos de v es igual a un séptimo que multiplica a la integral de y bueno primero tengo 7 x de x esto es la diferencial de v entonces voy a poner aquí la raíz de lo que estaba dentro era un que multiplica a 7 de x que es la diferencial de eeuu y bueno esta integral de as muy sencilla ya hicimos el cambio de variable porque la raíz de v es lo mismo que elevado a la un medio y entonces podemos resolver esta integral como integral de una variable elevar a una potencia me va a quedar un séptimo que multiplica al ente elevado a la un medio diferencial de recuerden que la raíz y elevarle un medio es lo mismo voy a poner mejor aúlla de un color blanco para que no nos vayamos confundiendo porque además todo es de color amarillo es muy monótono entonces ahora si ya tengo esta integral y esta integral yo la puedo resolver por la integral de una variable elevada una potencia es decir lo que hay que hacer es sumarle 1 la potencia y dividirlo entre ese mismo número entonces nos queda un séptimo no lo olvidemos que multiplica a elevada a la un medio más uno pero un medio más uno es lo mismo que un medio más un medio más un medio que son tres medios por lo tanto no queda elevada a la tres medios lo voy a poner con color blanco o elevado a la tres medios entre tres medios pero si tomamos el recíproco de tres medios es lo mismo que dos tercios o elevada a tres medios entre tres medios es lo mismo que dos tercios que multiplica a elevar a tres medios y bueno ya resolvimos por fin ese integral utilizando la integral de una variable elevada una potencia a esto todavía falta sumarle una constante de integración y bueno ahora sí ya tengo la integral por fin y lo que voy a hacer ahora es multiplicar este un séptimo por el dos tercios un séptimo por dos tercios es lo mismo que 2 entre 21 y elevado a la tres medios más un séptimo por una constante por el final un séptimo por una constante es lo mismo que una constante bueno siquiera aquí le podemos poner constante 1 y constante 2 pero al final son constantes arbitrarias por lo tanto pues es lo mismo que una constante no es necesario poner constante 1 constante 2 o las que sean necesarias y ya casi acabamos porque hicimos un cambio de variable ahora hay que hacer el cambio de variable hacia atrás eso quiere decir que hay que sustituir en términos de la variable original y la variable original era x por lo tanto me queda 2 sobre 21 que multiplica a 1 pero es lo mismo que 7 x más 9 por lo tanto es 2 sobre 21 que multiplica 7 x + 9 elevado a la 3 medios más la constante de integración y ya con esto hemos terminado no sin antes hacerles mención de lo importante que fue multiplicar por este 1 fantasma es decir por 7 por un séptimo para ajustar la integral