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Método de cambio de variable: función logarítmica

Transcripción del video

veamos en esta ocasión tenemos la integral de pi / x logaritmo natural de x diferencial de x ibi acaso esta integral definida se podrá resolver por sustitución no lo sé pero vamos a intentarlo y eso es lo importante entonces lo primero que se me ocurre es tomar a como el logaritmo natural de x y entonces si es igual a logaritmo natural de x entonces quién es la derivada de la derivada de v es igual a la derivada del logaritmo natural de x que si ustedes se acuerdan es 1 / x de x bueno recuerden que esto pasa si sólo si la derivada de v con respecto a x es igual a 1 entre x esto ya lo habíamos visto y es poner las cosas en su forma diferencial y bueno ahora ya tenemos esto entonces lo primero que se me ocurre hacer antes que nada es quitar el pin porque quitar el pi porque es una constante entonces vamos a sacarla fuera de la integral por una propiedad que teníamos la integral step y que bueno está de verde pero creo que lo mejor le voy a cambiar de color para no confundirnos de color y de color magenta viva por fuera y entonces me queda pi que multiplica la integral y bueno con un pincel yo fuera del integral me queda uno entre logaritmo natural de x lo voy a poner de esta manera para que se vea mucho más sencillo que multiplica a 1 entre x diferencial de x y sería muy bueno que ustedes se dan cuenta que estas dos expresiones de la integral son la misma entonces ya que tengo estas dos expresiones ya podemos empezar a ver claramente algunos patrones por ejemplo lo primero que veo es que tengo el logaritmo natural de x que por cierto yo lo había llamado ese estado de aquí y todo esto que tenemos acá de color rojo esto de acá va a ser la derivada de eeuu entonces esto lo puedo escribir como pi que multiplica a la integral de uno entre logaritmo natural de x pero no organismo natural de xc su entonces me queda 1 entre v que multiplica a 1 entre x diferencial de x que esto era la diferencia del dv y bueno resolver esto ya es muy sencillo ya lo hemos hecho varias veces cuando yo tengo 1 / v diferencial débil esta col integral es lo mismo que pi no olvidemos a pi pi pi que va a multiplicar el logaritmo natural del valor absoluto de quien a pues el valor absoluto de uno más una constante integración y recuerden que es el valor absoluto porque el logaritmo natural no está definido para números negativos y no hay que olvidar la constante integración y ahora sí hay que sustituir aún no hemos acabado y es igual a logaritmo natural de x y por lo tanto es lo mismo que recuerden que tenemos que escribir todo en términos de x y sustituir el agua entonces me queda pi que multiplica al logaritmo natural del valor absoluto de eeuu pero quién era o es igual a logaritmo natural de x por lo tanto tengo que poner adentro el logaritmo natural de x más la constante integración que no hay que olvidar y bueno si tú creías que lo que necesitamos pedirle era que fuera positivo x no solamente eso además de eso estamos pedirle que el logaritmo natural y sea positivo porque estamos tomándonos el valor absoluto del logaritmo natural de x y es justo por esa razón que x no puede ser 0.5 o algo menor o algo por el estilo por lo tanto ya tenemos aquí por fin a la solución de esta integral y espero que te haya servido bastante para entender la sustitución e intentes cada vez que veas una integral hacerlo por cambios de variable esto es muy importante