Sobre o subestimación de sumas de Riemann

considera las sumas de riman por la izquierda y por la derecha que se aproximen al área debajo de la g de x entre x2 y x igual a 8 entonces queremos aproximar esta área azul que tenemos aquí las aproximaciones son sobre estimadas o subestimadas ok vamos a considerar las sumas de riman por la izquierda y por la derecha empecemos con la izquierda solo voy a escribir izquierda pero sabemos que estamos hablando de la suma de riman por la izquierda y como no nos dicen cuántas subdivisiones hay que hacer para nuestra aproximación eso lo decidimos nosotros supongamos que haremos tres subdivisiones y que vamos a hacer las del mismo tamaño no tiene que ser así pero vamos a dividirlo de esa manera para la primera vamos de 2 a 4 después de 4 a 6 y finalmente de 6 a 8 entonces si hacemos la suma de riman por la izquierda vamos a usar el lado izquierdo de cada una de las subdivisiones para poder encontrar la altura que queremos para evaluar la función así que vamos a concentrarnos en el lado izquierdo de cada una de estas subdivisiones por lo tanto para establecer la altura del primer rectángulo aproximado usaremos g de dos luego usaremos g de cuatro para el siguiente rectángulo que sería este y después usaremos g de seis para representar la altura del tercer rectángulo ok ahora así podemos ver claramente que la suma de riman por la izquierda es una sobreestimación porque bueno porque podemos ver que el área que tratamos de aproximar siempre está contenida en estos rectángulos pero en este caso los rectángulos tienen esta área extra así que siempre serán más grandes que las áreas que tratamos de aproximar en general si tenemos una función disminuye estrictamente sobre el intervalo que nos interesa si disminuye todo el tiempo y usamos el lado izquierdo de cada subdivisión para aproximar el área vamos a tener una sobreestimación porque del lado izquierdo el valor de la función es más grande que el valor de la función en cualquier otro punto de la subdivisión por eso es que para la disminución de la función la suma de riman por la izquierda será una sobreestimación ahora pensemos en la suma de riman por la derecha tal vez ya sepan que será lo contrario pero vamos a visualizar si continuamos con las mismas tres subdivisiones pero ahora usamos el lado derecho de cada una de ellas para definir la altura para el primer rectángulo la altura está definida por g de 4a y está después para el segundo será g de 6 ok y para el tercero será g de 8 entonces voy a sombrear los rectángulos para que se vea más claro de qué rectángulos estamos hablando esta es la suma de riman por la derecha para aproximar el área miren aquí está muy claro que será una subestimación porque podemos ver que en cada uno de estos intervalos la suma de riman o mejor dicho el rectángulo que estamos usando para la suma de riman por la derecha es un subconjunto del área que estamos tratando de estimar y no podemos capturar esta área que tenemos aquí y eso es porque esta es una función que disminuye estrictamente por lo que si usamos el lado derecho en cualquiera de estas subdivisiones para definir la altura el valor correcto de g será el valor menor de g en esta subdivisión así que será una altura menor a la que podríamos decir que sería la altura promedio del valor de la función sobre el intervalo por lo tanto en esta situación tenemos una subestimación ahora si nuestra función fuera aumentando estrictamente entonces esto se intercambiaría claro hay muchas funciones que puede que no aumenten o disminuyan estrictamente y es depende de la función pero incluso muchas veces depende del tipo de subdivisiones que elijamos para decidir si tenemos una subestimación o una sobreestimación con esto terminamos