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Transcripción del video

te presento una serie aquí 3x cuadrada menos tres equis a las 5 + 3 x a la 8 - 3 x a la once y así sucesivamente y lo que quiero que hagas en este vídeo es hacer una pausa primero que nada y ver si puedes expresar y esta serie como una serie geométrica es decir que es la suma de potencias de cierto número y de poder hacerlo ver cuál es el intervalo de convergencia porque por supuesto ésta es una función que depende de x muy bien entonces suponiendo que ya hiciste una pausa ya lo pensaste al menos vamos a a 1º factorizar todo lo que podamos factorizar de esta serie entonces estoy aquí será exactamente igual a 3 x cuadrada que multiplica a quién bueno primero tendríamos que multiplicar por 1 para que nos de 3x cuadrada luego menos porque tenemos el signo menos ya factor izamos el 3 y necesitamos multiplicar por equis al cubo para obtener x a las 5 verdad ahora bien aquí siguen más y ya factor izamos el 3 y ahora necesitamos multiplicar por equis a las seis para que por este x cuadrada nos dé x a la 8 x a las seis menos ya factor izamos el 3 y ahora hay que multiplicar por ekiza la nueva y así sucesivamente verdad cerremos este paréntesis y ya que tenemos esto ahora podríamos identificar cada uno de estos términos como potencias de x al cubo verdad por ejemplo tenemos aquí bueno aquí el 3 x cuadrada sigue y el uno podríamos pensar que es x al cubo elevada a la potencia 0 verdad y aquí luego a bueno aquí siegel - x al cubo elevado a la primer potencia más x al cubo elevado al cuadrado - x al cubo elevado al cubo y así sucesivamente muy bien entonces de hecho aquí ya se ve muy bien cómo es nuestra serie geométrica verdad ya se ve muy bien quién es nuestro nuestra proporción común excepto que todavía no sabemos bien qué pasa con los signos pero esto es muy fácil porque si copiamos todo exactamente igual aquí podríamos ver que por ejemplo tenemos un signo menos cada vez que tenemos las potencias impares y un signo más cada vez que tenemos las potencias pared y eso ya lo hemos visto en varios videos porque podríamos por ejemplo pensar en - x al cubo elevado al acero más o menos x al cubo elevado a la 1 verdad y aquí -1 elevado al lado no es menos uno lo cual nos estén menos y x al cubo elevado a la 1 es lo que tenemos acá arriba podemos sumar sumar perdón - x al cubo al cuadrado y por supuesto como tenemos un signo menos elevado al cuadrado nos da sino más verdad y luego podríamos concluir con más o menos x al cubo elevado al cubo muy bien y esto otra vez se da porque -1 al cubo es menos uno lo cual nos da el signo menos muy bien entonces aquí ya tenemos nuestra serie geométrica simplemente x 3 x cuadrada la pregunta es bueno cuando esta serie geométrica con bergé y de hecho sabemos que las series geométricas convergen siempre que la proporción común o la razón común sea el bueno su valor absoluto sea menor que uno es decir con bergé si la proporción común que nuestro caso es menos x al cubo si el valor absoluto de - x al cubo es menor que uno es esto que nos está diciendo el valor absoluto de - x al cubo en realidad es el valor absoluto de x al cubo verdad simplemente el valor absoluto de un número es el mismo valor absoluto que el de su negativo verdad ambos son de hecho no negativos ahora bien tenemos el valor absoluto menor que uno entonces tendremos menos uno menor que x al cubo menor que 1 y si sacamos raíz cúbica en cada uno de estos lados tendremos 21 menor que x menor que 1 y este es nuestro intervalo de convergencia este es el intervalo de convergencia el intervalo de convergencia es el intervalo menos 11 que intervalo de convergencia es el intervalo menos 11 sin incluir al menos 1 y el 1 muy bien entonces lo que obtuvimos en lo siguiente esto será igual de hecho podríamos saber muy bien en el intervalo de convergencia cuanto o cómo expresar esta serie geométrica verdad esto es lo mismo que tres equis cuadradas simplemente estoy copiando esto dividido entre 1 - la razón verdad 1 - las razones 1 - - x algo que es más x al cubo y esto será exactamente igual de gm seleccionar y copiar para no volver a hacerlo copiar y pegar y ahí lo tienen tenemos esta igualdad de ahí tenemos esta igualdad muy bien entonces ahora lo que quiero que pienses es en lo siguiente si te fijas muy bien del lado izquierdo lo que tenemos es que se parece como una derivada de una función verdad de hecho es parecido a la deriva de un logaritmo de hecho va a ser la derivada del logaritmo natural de uno más x al cubo verdad si no lo ves a un lo que sí es cierto es que quizás esto es una función que tiene una antidiva da y tenemos aquí del lado derecho su expresión en serie si nosotros queremos saber quién es la expresión en serie de la anti derivada de esta función bastaría con integrar de ambos lados verdad encontramos la anti derivada del lado izquierdo y tendremos la anti derivada del lado derecho si también integramos muy bien entonces nuestro la diversión que vamos a tener ahorita es ver si podemos expresar la y deriva de esta función en términos de alguna serie muy bien así que como resolveríamos este problema si nosotros hacemos uu igual a uno más x al cubo entonces estamos pensando en un cambio de variable para resolverla integral tendremos que de eeuu será igual a 3 x cuadrada de x y entonces podemos hacer ahora este cambio de variable y resolverla integral tenemos tendremos por ejemplo aquí está de hecho aquí se ve verdad 3x cuadra de x nuestra de eeuu que se encuentra justo aquí entonces podemos utilizar el cambio de variable y que tendremos la integral de luego con el mismo color la integral de uno entre eeuu y esto lo voy a dejar con el color rojo uno entre eeuu por de eeuu es igual a integral que tenemos del lado derecho ahorita vemos qué pasa con la integral del lado derecho pero éste integral es el logaritmo natural esto es el logaritmo natural del valor absoluto de eeuu más cierta constante una constante una primer constante del otro lado va a salir otra pero ahorita que creemos que es lo que va a ocurrir y esto es exactamente igual a logaritmo natural de eeuu que dijimos que era uno más x al cubo y recuerdan que hay que ponerle un valor absoluto pero de hecho de hecho no es necesario ponerle el valor absoluto ya que la x está entre menos uno y uno si x está entre -1 y 1 x al cubo vuelve están entre menos uno y uno y si le sumamos uno está entre 0 y y me parece que dos verdad exactamente está entre 0 y 2 lo cual nos dice que estoy adentro es no negativo así que de hecho es positivo así que esto es el logaritmo natural de uno más x al cubo y ya no es necesario ponerle el valor absoluto y sumamos una constante se 1 ahora que pasa del lado derecho que pasa si integramos esta serie sobre el intervalo de convergencia por supuesta entonces tendremos primero tendremos alguna constante no sabemos cuál y vamos a ir integrando paso por paso por ejemplo aquí qué pasa si integramos 3x cuadrada esto será tres veces la integral de x cuadrada y la integral de x cuadrada es x al cubo entre 30 x este 3 simplemente nos da x al cubo bien vamos a ver qué ocurre con esta de aquí ahora tendremos un menos 3 veces la integral de quizá las cinco que es x a las 6 sobre 6 y x este e3 nos queda x a las 6 dividido entre dos muy bien vamos a ver qué pasa con el siguiente si integramos x a la 8 nos queda y quizá la 9 entre 90 x 3 nos queda x a la x a la 9 actualmente sobre tres muy bien y sólo vamos a hacer el último por diversión si integramos esto integramos x a la once nos queda x a la 12 sobre 12 que multiplicado por tres nos da exhalado ces sobre sobre sobre sobre cuatro por supuesto 3 entre 12 es un cuarto muy bien y así seguimos sumando así que ya tenemos una expresión en serie para el logaritmo natural de uno más x al cubo por ejemplo si pasamos restando este c1 lo que nos va a quedar es el lo que nos va a quedar es lo siguiente tenemos el resto va a hacer esto implica que el logaritmo natural de uno más x al cubo es igual a c 2 - eeuu no que a final de cuentas es diferencia de constantes así que pues sólo es alguna constante más x al cubo - x a las 6 entre dos más x sala 9 sobre 3 - x a la 12 entre 4 y tuya vez el patrón verdad espero que ya haya distintas cuál es el patrón aquí y que fue bueno aquí ya lo que obtuvimos es una expresión para el logaritmo natural de uno más x al cubo una expresión en serie sobre el intervalo de convergencia que teníamos aquí así que en resumen que fue lo que hicimos teníamos una serie una serie que vimos que se podía se podía expresar como una serie geométrica esencialmente x 3 x cuadrada eso nos da una expresión para esta serie que era 3x cuadrada entre uno más x al cubo y tenía su expresión en serie ahora bien si integrábamos de ambos lados obteníamos una anti derivada de esta función por un lado y que es el logaritmo natural de uno más x al cubo y del otro lado tenemos una serie esto me está diciendo que esta serie es una expresión para esta función muy bien ahora bien quién es esta constante que que obtuvimos realmente necesitamos un poco más de información por ejemplo qué pasa si la x vale cero cuando la x vale cero tendremos el logaritmo natural de uno que es igual a c c más si x vale cero aquí tendremos 0 y equivale cero tendremos menos 0 y así sucesivamente verdad son los humanos o restamos ceros así que nuestra constante es el logaritmo natural de uno pero nosotros sabemos cuánto vale logaritmo natural de uno y eso es cero así que esta constante no es otra cosa más que un cero y ahora sí tenemos la expresión la expresión correcta para el logaritmo natural de uno más x al cubo en serie de potencias en esta es una expresión en serie de potencias del logaritmo natural de uno más x al cubo muy bien hecho déjenme nada más concluir con la expresión de esta serie en notación usando la letra griega sigma verdad entonces hemos logrado es natural de uno más x al cubo va a ser igual que la suma la serie desde n igual a uno hasta infinito y qué es lo que tenemos tenemos x al cubo elevado a la gente de verdad aquí sería x al kubala 16 al cuba la 2 x al kubala 3 y así sucesivamente divididos entre en verdad aquí sería elevado a la uno dividido entre 1 elevado a las 2 dividido entre dos elevado al a3 dividido entre tres y me falta ir intercambiando los signos así que me falta por -1 y pensemos debe ser un signo más en las ponen la primer posición signo menos en la segunda signo más en la tercera es decir son signos más en los impares y signos menos en los padres así que esto simplemente se puede describir como -1 a la animación o muy bien entonces la n +1 así está correcto muy bien y ahí lo tienen no sé ustedes pero yo lo encuentro este resultado muy satisfactorio la verdad es que me pareció un ejercicio muy interesante