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Intervalo de convergencia de una serie geométrica

Transcripción del video

como dijimos en el vídeo anterior vimos series geométricas o bueno funciones vistas como seres geométricas y luego suponiendo que la proporción común que era nuestro nuestra variable x tiene un valor absoluto menor que uno entonces tenemos lo que lo que vale dicha suma que vivimos ya hace algunos vídeos con esta fórmula y está ahora vamos en sentido contrario vamos a tomar una función digamos e digamos está hdx hdx igual a 1 entre tres más x cuadrada y vamos a ir al revés porque ahora vamos a ponerla en vamos a tratar de ponerla de esta forma para poder representarla como una serie geométrica muy bien así que te invito a que hagamos una pausa y que piensa es cómo resolver este problema que ya entonces vamos a tratar de hacer lo primero lo que tenemos que ver es que aquí hay un 1 y aquí tenemos un 3 así que una forma de obtener este uno es factor izando este tres así que lo podemos poner como uno entre tres que multiplica a uno más x cuadrada sobre tres simplemente factor izamos s3 si uno hace este producto puede ver que se obtiene esto muy bien así que este 3 lo podemos pasar en él denomina el perdón del denominador al numerador de la siguiente forma lo podemos poner como un tercio entre y ahora ponemos uno y no tenemos que necesitamos un menos así que podemos poner menos y para que se obtenga este más ponemos el menos aquí x cuadrada entre tres muy bien entonces ya está expresado esta función en esta forma que necesitamos para saber cómo es su jefe su perdón su serie geométrica entonces cómo es que lo vamos a los vamos a escribir vamos a tener la suma la suma desde n igual a cero hasta infinito muy bien en nuestro caso quienes a pues en nuestro caso la a es el numerador que es un tercio así que ponemos un tercio que multiplica a nuestra proporción común que nuestro caso es x así que aquí no es x simplemente será en nuestro caso va a ser menos - x cuadrada entre tres muy bien y esto lo elevamos a la n ahora qué pasa bueno vamos a vamos a desarrollar esto para que veamos exactamente quién es y esto sería un tercio menos aquí hay que multiplicar un tercio por efe - x cuadra entre tres por eso para él menos y entonces x cuadra por una x cuadrada entre 3 x 3 que es 9 ahora si queremos obtener el 6 el siguiente terminó multiplicamos nuevamente por - x cuadrada entre tres así que va a más verdad porque tenemos menos por menos es más x cuadrada por equis cuadrada es x cuarta y 9 por tres son 27 que y entonces tenemos x a la cuarta entre 27 y así podemos ir siguiendo para determinar esta serie muy bien entonces esta serie representa exactamente esta función cuando nos encontramos en el intervalo de convergencia entonces la pregunta es cuándo convergex cuales el intervalo de convergencia y te invito a que hagamos una pausa y pienses en esto muy bien entonces vamos a checar lo que nosotros necesitamos necesitamos que el valor absoluto de la proporción común sea menor que 1 en nuestro caso este - x cuadrada entre 3 es nuestra proporción comunas y que necesitamos que el valor absoluto de - x cuadrada sobre tres sea menor que uno muy bien pero fijémonos que en realidad el valor absoluto de este número negativo pues en realidad es lo mismo que cuando tenemos signo más entonces esto es el valor absoluto de x cuadrada entre tres y esto debe ser menor que 1 finalmente pues bueno finalmente todavía faltan varios pasos no tenemos que x cuadra entre 3 no negativo verdad x cuadrada siempre va a ser mayor o igual que cero y si dividimos entre 3 sigue siendo mayor o igual que ser así que el valor absoluto es exactamente x cuadrada entre 3 y necesitamos que sea menor que 1 vamos a ver así a resolver lo voy a seguir por acá voy a multiplicar de ambos lados por tres y nos queda x cuadrada menor que tres muy bien y si yo quiero sacar raíz cuadrada en realidad lo que debo poner bueno si puedo hacerlo pero del lado izquierdo que da valor absoluto de x menor que la raíz cuadrada de tres y esto ya nos está diciendo cuál es el intervalo porque esto me está diciendo que x debe ser más grande que menos la raíz de tres y más chico que la raíz de tres así que aquí está nuestro intervalo de convergencia intervalo de convergencia convergencia y con esto para estas x entre menos raíz de tres y raíz de tres esta función está función de aquíó esta serie va a ser exactamente igual es exactamente igual la ops eso fue un poco chocó es exactamente igual a 1 entre tres más x cuadrada así que sobre el intervalo de convergencia la función toma el mismo valor que la serie lo cual yo creo que es una idea fantástica