Demostración de la fórmula para series aritméticas infinitas

Digamos que tenemos una serie geométrica infinita cuyo primer término es

a

y su razón común es

r

. Si

r

está entre

- 1

1

(es decir,

| r | < 1

), entonces la serie converge al siguiente valor finito:

lim_{n \to \infty} \sum_{i = 0}^{n} a \cdot r^{i} = \frac{a}{1 - r}

Para seguir el curso de cálculo (AP Calculus) no necesitas saber la demostración de este hecho, pero creemos que siempre que la demostración sea accesible, hay algo que aprender de ella. En general, suele ser bueno buscar algún tipo de prueba o justificación de los teoremas que aprendes.

Primero, ganemos algo de intuición de por qué esta afirmación es verdadera. Esta no es una prueba formal, pero es iluminadora.

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Infinite geometric series formula intuitionVer la transcripción del video

Ahora podemos probar la fórmula más formalmente.

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Proof of infinite geometric series as a limitVer la transcripción del video

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BRAYAN FERNANDO ALBARRACÍN GUEVARA
Publicado hace hace un año. Enlace directo a la publicación “Esas condiciones se podra...” de BRAYAN FERNANDO ALBARRACÍN GUEVARA
Esas condiciones se podran definir de una manera mas sencilla?
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Respuesta
- Rodrigo Castillo
  Publicado hace hace un año. Enlace directo a la publicación “Tal vez te ayude saber qu...” de Rodrigo Castillo
  Tal vez te ayude saber que en el primer vídeo se cometió un error. Al multiplicar la serie por r, queda un término que no se cancela con los demás al efectuar S - Sr, el cual es ar^(n+1).
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