Ejemplo resuelto: serie geométrica convergente

practiquemos un poco con las sumas de series geométricas infinitas aquí tenemos una serie y solo para asegurarnos de que estamos trabajando con una serie geométrica verifiquemos si tenemos una razón común vamos a ver para pasar del primer término al segundo multiplicamos por un tercio y para pasar al siguiente término volvemos a multiplicar por un tercio y así sucesivamente así que podemos reescribir esta serie como 8 más 8 por un tercio más 8 por un tercio al cuadrado y miren en cada término multiplicamos por un tercio entonces podemos escribir esto en notación sigma esto es igual esto es igual a la sumatoria y podemos empezar en cero o en 1 dependiendo de como queramos hacerlo vamos a decir que va desde acá igual a 0 hasta bueno como esta es una serie infinita entonces podemos decir que va hasta infinito y es la sumatoria de cuál es la razón de nuestro primer término cuál es nuestro primer término miren nuestro primer término es 8 entonces tenemos 8 por la razón común que es un tercio elevado a la potencia acá pero déjenme verificar que esto funcione siempre hago esto para corroborar que todo esté bien los invito a que hagan lo mismo vamos a ver cuando acá es igual a cero ese debe de ser nuestro primer término entonces 8 por un tercio a la 0 sin duda es 8 y cuando acá es igual a 1 ese será nuestro segundo término que es igual a 8 por un tercio a la primera potencia que es lo que tenemos aquí y cuando caes igualados eso corresponde a este término entonces todos estos términos describen lo mismo y ahora que ya vimos que podemos escribir una serie geométrica de diferentes formas encontremos la suma bueno anteriormente en otros vídeos vimos que sí tenemos una sumatoria que va desde acá igual a cero hasta infinito y tenemos el primer término a por r elevada a la potencia k suponiendo que esto converge es decir suponiendo que el valor absoluto de la razón común es menor a 1 si eso ocurre esto será igual a nuestro primer término a entre 1 menos la razón común si todo esto es extraño para ustedes los invito a que vean el vídeo en el que deducimos la fórmula para la suma de una serie geométrica infinita si aplicamos eso para este caso tenemos que esto es igual a nuestro primer término que es 88 entre 1 - 1 - la razón común que es un tercio y sabemos que estos y converge porque el valor absoluto de la magnitud de la razón común que es igual a un tercio sin duda es menor a 1 así que esto es igual a 8 entre 1 menos un tercio que es igual a dos tercios y esto es igual a 8 por 3 medios que es igual a vamos a ver si dividimos 8 entre 2 nos queda 4 y esto es igual a 12