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Series geométricas convergentes y divergentes (con manipulación)

En este video estudiamos los ejemplos de tres series geométricas infinitas y determinamos si cada una de ellas converge o diverge. Para lograrlo, necesitamos manipular las expresiones para encontrar la razón común. Creado por Sal Khan.

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Transcripción del video

por aquí tenemos tres series diferentes y lo que quiero que hagas es para usar el vídeo y pensar si cada una de ellas converge o diverge bien vamos a trabajar juntos primero recordemos si a pesar de que estamos sumando una cantidad infinita de términos en todos estos casos obtenemos un valor finito para esa suma infinita de términos entonces decimos que la serie converge y siempre lo encuentro sorprendente que la serie sea divergente significa que no obtenemos un valor finito de esa suma infinita de todos los términos así que como podemos saberlo bueno ya sabemos algo sobre series geométricas y éstas se ven un poco como series geométricas así que recordemos que sabemos al respecto sabemos que la forma estándar de escribir una serie geométrica es empezar en n ok bueno normalmente empezamos en n igual a 0 pero vamos a decir que empezamos en alguna constante acá y vamos a ir hasta infinito de a por ere elevado a la n donde r es nuestra razón común ya hemos profundizado sobre esto en otros vídeos esta es la forma estándar de escribir una serie geométrica ya sabemos que es el valor absoluto de r está entre 0 y 1 entonces la serie converge de lo contrario la serie divergen por lo tanto tal vez sea una buena idea que intentemos reescribir estas expresiones que definen cada uno de nuestros términos a medida que incrementamos n sí podemos reescribir las de esta forma podremos identificar la razón común y pensar si convergen o no por lo tanto enfoquémonos en esta parte de aquí e intentemos reescribir la veamos 5 elevado a la n 1 podemos escribir lo como 5 elevado a la n por 5 elevado a la menos 1 y esto multiplica a 9 decimos elevado a la n iv podemos escribir esto como primero 5 elevado a la menos 1 es lo mismo que un quinto por y después tengo 5 elevado a la n por 9 décimos elevado a la n como tenemos el mismo exponente y estamos multiplicando todo entonces podemos cambiar el orden entonces esto es lo mismo que 5 por 9 décimos todo esto elevado a la n iv esto será igual a un quinto x y bueno 9 por 5 45 entonces nos queda 45 entre 10 que es 4.5 4.5 elevado a la n por lo tanto para que quede todo en orden podemos reescribir nuestra serie original como empezaremos en n igualados y vamos hasta infinito de un quinto por 4.5 elevado a la n entonces cuál es nuestra razón común cuál es el valor de r podemos ver claramente que es 4.5 y el valor absoluto de 4.5 no está entre 0 y 1 por lo tanto aseguramos que la serie diverge ahora bien si has encontrado este procedimiento inspirador y si no pudiste hacerlo la primera vez que te pedí que pausar hasta el vídeo intentarlo de nuevo pausa el vídeo e intenta trabajar por tu cuenta con estas series ahora que ya viste un ejemplo ok vayamos a la siguiente intentemos manipular algebraica mente esta parte para llevarla a esta forma así que vamos a hacerlo podemos escribir esto veamos si podemos obtener algunas cosas elevadas sólo a la potencia n podemos escribirlo como tres medios esto elevado la potencia n y podemos escribir esta parte de aquí como 1 entre 9 elevado a la n por 9 elevado al cuadrado y esto será igual a tres medios elevado a la n iv veamos podemos factorizar o pasar al frente a 1 entre 9 al cuadrado así que vamos a hacerlo nos queda 1 entre 81 que es esta parte de aquí 1 entre 81 por tres medios elevado a la n por 1 entre 9 elevado a la n pero 1 entre 9 elevado a la n es lo mismo que un noveno elevado a la n iv ahora tenemos dos expresiones la potencia n así que podemos hacer lo mismo que hicimos en el ejemplo anterior esto va a ser lo mismo que 1 entre 81 x tres medios por un noveno todo esto elevado a la n sólo estamos aplicando las propiedades de los exponentes por aquí esto va a ser igual a 1 entre 81 x y veamos tres medios por un noveno es lo mismo que 3 entre 18 que es lo mismo que un sexto entonces nos quedará 1 entre 81 por un sexto elevado a la n así que podemos reescribir nuestra serie original como la suma desde n igual a 5 hasta infinito de 1 entre 81 por un sexto elevado a la n iv por lo tanto claramente un sexto es nuestra razón común y su valor absoluto en efecto está entre 0 y 1 por lo tanto en esta situación la serie converge berge ahora vayamos al último ejemplo lo vamos a hacer un poco más rápido veamos vamos a intentar manipular algebraica mente esta parte esta parte será lo mismo que 2 elevado a la n por 1 entre 3 elevado a la n por 3 elevado a la menos uno y esto será igual a 2 elevado a la n por 1 entre 3 elevado a la n por 1 entre 3 elevado a la menos uno que es lo mismo que 1 entre un tercio que es lo mismo que 3 esto será lo mismo que si ponemos al 3 al frente tenemos 3 por 2 elevado a la n por y bueno tengo uno entre 13 elevado a la n que es lo mismo que un tercio elevado a la n así que esto será igual a 3 dos por un tercio esto elevado a la n y esto es lo mismo que 3 x dos tercios elevado a la n así que reescribimos esta parte de aquí como tres por dos tercios elevado a la n podemos ver que nuestra razón común es dos tercios y el valor absoluto de dos tercios claramente está entre 0 y 1 así que una vez más esta serie converge convergen y hemos acabado