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Ejemplo resuelto: serie geométrica divergente

Evaluamos la serie geométrica infinita -0.5+1.5-4.5+... Ya que el valor absoluto de la razón común es mayor que 1, la serie no converge.

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Transcripción del video

aquí tenemos esta serie infinita y vamos a ver se parece a una serie geométrica porque cuando pasamos del primer término al segundo estamos multiplicando por menos 3 y después para pasar al siguiente terminó nuevamente multiplicamos por menos 3 así que tenemos una razón común igual a menos 3 y podemos reescribir esta serie como menos 0.5 por menos 3 a la cero menos 0.5 por menos 3 elevado a la primera potencia menos 0.5 por menos 3 al cuadrado y así sucesivamente entonces siempre es 0.5 por menos 3 elevado a las diferentes potencias pero también podemos escribir esto en notación sigma miren esto es igual a la suma que va desde n igual a cero hasta infinito es decir que esto continúa y continua la suma de lo primero que tenemos aquí que se multiplica por menos 3 elevado a alguna potencia entonces tenemos menos 0.5 por menos 3 elevado a la potencia n y aquí n es igual a 0 después es igual a 1 y aquí n es igual a 2 entonces hemos podido escribir esto de diferentes formas pero veamos si podemos evaluarlo tenemos una razón común de menos tres aquí nuestra r es igual a menos 3 y lo primero en lo que tenemos que pensar es que para que esto pueda converger la magnitud de nuestra razón común o el valor absoluto de la razón común tiene que ser menor a 1 para que exista convergencia pero cuál es el valor absoluto de menos 3 bueno el valor absoluto de -3 es 3 así que definitivamente no es menor a 1 entonces esto no converge no converge e incluso si analizamos esto tiene sentido porque la magnitud de cada uno de estos términos se va haciendo más y más grande y vamos cambiando entre sumar y restar pero cada vez estamos sumando y restando valores más y más y más grandes y cuando las cosas convergen cada término exitoso tiende a hacerse muy pequeño o incluso hasta puede que se cancele de alguna forma pero como en este caso el valor absoluto de la razón común es mayor a 1 esto no converge