Series harmónicas y series-𝑝

durante cientos de años los matemáticos han estado fascinados por las sumas infinitas que llamamos series uno más un medio más un tercio más un cuarto y seguimos sumando así por siempre esto es interesante en varios aspectos y es algo que se presta para analizar con más detalle uno entre uno más uno entre dos más uno entre tres cada uno de estos términos se vuelve más y más pequeño se aproximan a cero pero cuando sumamos todos estos términos infinitos juntos obtenemos un número finito o diverge y no llega a un número finito esto también aparece en la música y quizá ese haya sido uno de los primeros motivos para estudiar estas series en donde tenemos una nota o frecuencia fundamental musical aunque el objetivo de este vídeo no es enseñar música pero sí tenemos una nota fundamental que puede ser un do puro o algo así aquí les muestro solo una de sus longitudes de onda que continúa así las armónicas son las frecuencias que a nuestros oídos parece que refuerza en esa nota y lo que ocurre con las armónicas es que tienen la mitad de la longitud de onda de la nota principal en este caso 2 y que lucen más o menos así esta es una armónica de do y tiene la mitad de la longitud de onda noten que cuando termina su segunda forma de onda termina en el mismo punto que la nota principal y hay otra armónica que tiene una tercera parte de la longitud de onda de do y otra armónica con la cuarta parte de la longitud de onda de do y si vemos varios instrumentos musicales algo que nos parece que se escucha bien resulta que no sólo tocan la nota fundamental sino también incluyen muchas armónicas pero de cualquier forma este fue un ejemplo bastante largo para justificar porque a esto se le llama serie armónica en un siguiente vídeo demostraremos que aunque no quiero estropear la sorpresa esto realmente diverge y encontraremos reglas generales para saber si cosas que lucen así convergen o divergen la serie armónica en particular divergen que si escribimos esto en notación sigma lo haríamos así desde n igual a uno hasta infinito de 1 entre m otra cosa interesante es qué pasaría si pusiéramos algunos exponentes aquí ya comentamos que esto que escribo por acá es la serie armónica 1 entre 1 que es uno más uno entre dos más uno entre tres y así sucesivamente pero qué sucedería si elevamos cada uno de estos denominadores a la segunda potencia tendríamos algo que luce así la suma desde que n es igual a 1 hasta infinito de 1 entre n a la segunda potencia ahora tendríamos 1 entre 1 a la segunda potencia que es 1 y que podemos escribir todo como 1 más 1 / 2 al cuadrado que es un cuarto más 1 entre 3 al cuadrado que es un noveno y seguimos así hasta el infinito y podemos generalizar esto digamos que queremos una clase general de series que describimos como sigue desde n igual a 1 hasta infinito de 1 / n elevado a la potencia p donde puede ser cualquier exponente esto quedaría como 1 más 1 / 2 a la p + 1 entre 3 a la p + 1 entre 4 a la p etcétera y p no tiene que ser un valor entero que podría ser un medio en cuyo caso tendríamos 1 más 1 entre la raíz cuadrada de 2 más 1 entre la raíz cuadrada de 3 etcétera toda esta clase de series de la cual la serie armónica es un caso especial en el que p es igual a 1 se conoce como serie es pep y no es difícil de recordar que la p viene de la potencia a la que se elevan los denominadores aunque también podríamos verlo como que se eleva toda la expresión ya que 1 elevado a cualquier exponente siempre será igual a 1 pero ya les di a entender que quizá algunas de estas convergen y otras divergen y vamos a demostrarlo en próximos vídeos pero el principio general es que si p es mayor a 1 entonces la serie converge lo que tiene sentido porque significa que los términos van a disminuir suficientemente rápido porque mientras más grande sea el exponente de ese denominador quiere decir que ese denominador crecerá más rápidamente por lo que la fracción se hará más pequeña más rápido y si p es menor o igual a 1 y cuando p es igual a 1 tenemos la famosa serie armónica tenemos una situación en la que la serie divergen y demostraremos esto en futuros vídeos