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Transcripción del video

hemos visto ya muchos ejemplos de series infinitas pero lo emocionante de este vídeo es que vamos a usar series infinitas para definir una función y la más común que verás en toda tu carrera matemática es la serie de potencias muy bien serie de potencias entonces lo que vamos a hacer es definir una función fd x estés efe de x y la vamos a expresar como una serie de la siguiente forma vamos a calcular la suma desde cero hasta infinito de ciertos coeficientes a n que multiplican a x-men o se ha elevado a la entonces a lo mejor ya en tu cabeza está gritando algo que te dice que se parece mucho a las series que hemos estado viendo y vamos a desarrollar las un poco para que veas cómo se ve esto será para cuando n es cero tendremos a cero que multiplica a x-men o se ha elevado al acero que eso es una verdad simplemente nos quedaría un número a 0 luego sumamos a uno que multiplica a x-men o se ha elevado a la 1 y seguimos sumando a dos que multiplica a x-men o se ha elevado al cuadrado y así podemos seguir sumando muy bien entonces como podrás darte cuenta seguro estará diciendo que esto se parece a una serie geométrica y de hecho lo más probable es que ya estés viendo que la serie geométrica es un caso particular de la serie de potencias por qué porque la serie geométrica vamos a vamos a recordarlo serie geométrica la serie geométrica lo podemos también expresar digamos de la siguiente forma la suma desde en igual a cero hasta infinito de un nuestro primer término que multiplica ax a la n donde x sería nuestra proporción común entonces si lo vemos de esta forma como que x es una variable independiente es una función esta es una función gdx muy bien dónde x nuestra variable independiente cuando no cuando nosotros hacíamos series geométricas aquí poníamos una era de verdad la rd ste para representar la proporción común pero en este caso es una x que es es una variable independiente muy bien entonces no es forzoso poner x puede ser una función que depende de rr pero bueno es lo más común poner la x como una variable independiente y esto quién sería cuando n vale cero tenemos a por equis al acero a por equis al acero más cuando viene vale uno es a por ekiza la uno más cuando en el valedor sería a por equis al cuadrado y así seguimos sumando hasta el infinito verdad entonces la gran diferencia aquí es simplemente que nuestros coeficientes a en en la serie geométrica son siempre el mismo y es un número fijo a verdad y akivá no estaríamos pensando que la ce vale cero verdad simplemente aquí arriba lo puedes ver como que estamos desplazándonos recorriendo no sé unidades ahora bien bajo ciertas condiciones nosotros sabemos que la serie geométrica convergía un valor verdad sabemos que siempre que la la proporción común tenga valor absoluto menor que 1 esto será igual a nuestro primer término dividido entre 1 - la proporción común muy bien entonces sabemos que esto con bergé entonces con bergé con bergé si el valor absoluto de x de la proporción común es menor que uno o en otras palabras esto ocurre si x es menor que 1 pero más grande que menos uno muy bien así que aquí x puede variar dijimos que era una variable independiente y definimos una función en términos de esta serie que es una serie geométrica esta serie tiene sentido es decir convergen siempre que nos encontremos en para en comba lores dx mayores que menos uno y menores que uno así que estoy aquí no se está definiendo un intervalo de hecho pueden pensar este intervalo así el -1 a cantar el cero y aquí en del 1 en este intervalo vamos a poder garantizar que la función convergía s le vamos a llamar intervalo de convergencia justamente es el intervalo en donde la función con bergé muy bien y entonces esto ocurre cuando tenemos esto de aquí entonces este valor tienen sentido muy bien entonces lo que necesitamos es que nuestra proporción común que nuestro caso en nuestro caso será x verdad aquí para multiplicar para multiplicarlos por equis para poder obtener el siguiente término y luego multiplicamos por equis para obtener el siguiente terminó entonces nuevamente por si no había quedado claro x es como nuestra proporción común pero además es variable aquí aquí aquí me equivoqué verdad no no es rh y justamente entonces x entonces fíjate muy bien qué fue lo que ocurrió tenemos una serie que nos definió esta función y ésta es una función muy bonita a entre 1 - x entonces podemos desarrollar funciones traición tradicionales en series geométricas tiene esto tiene muchas aplicaciones en ciencia y en ingeniería por ejemplo cuando queremos aproximarnos cierta función podemos decir bueno esta función la podemos expresar en una serie de potencias en una serie geométrica entonces podemos quedarnos con algunos términos que que nos ayuden a manipularlos o simplemente en los términos que nuestro cerebro puede entender por ejemplo que nos quedemos hasta este término es una aproximación de esta función ok ahora bien otro concepto que deberíamos y remarcando es el siguiente es el concepto de radio de convergencia radio de convergencia y este es un concepto muy sencillo si aquí aquí nosotros decimos que las x que se encuentran en este intervalo son en donde la función o más bien la serie convergía esta función gdx que resultó ser a entre 1 - x ahora que tanto nos podemos alejar del 0 y decir que si nos alejamos de cero cierta cantidad podemos garantizar que convergen a pues del cero a lo más nos podemos alejar 1 en ambos sentidos así que el radio de convergencia es uno y es el radio digamos del del intervalo muy bien ahora otra forma de pensar lo es este este intervalo tiene longitud 2 verdad aquí va una unidad y luego otra unidad cuales el radio pues la mitad de esa longitud muy bien puedes incluso hacer como la similitud con círculos así que mientras no nos alejamos de cero más del radio de convergencia que en este caso es uno esta serie con bergé