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Convertir términos explícitos de series en notación de suma (n ≥ 2)

Usualmente, cuando escribimos una serie en notación sigma, comenzamos en n=0 o n=1. A veces, sin embargo, nos gustaría comenzar en n=2 o en valores mayores. Ve un ejemplo aquí. Creado por Sal Khan.

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Transcripción del video

digamos que esta serie donde el índice comienza en 2 y nos seguimos recorriendo la suma hasta infinito es de la siguiente forma menos ocho quintos más 16 séptimos menos 32 novenos y así seguimos sumando hasta el infinito entonces lo que quiero hacer en este vídeo es determinar explícitamente quiénes son los genes los términos para cada n que empieza en 2 y se sigue hasta el infinito entonces te invito ahorita en este momento a poner pausa para que lo pienses lo intentes tú solo y veamos si coincidimos con el mismo resultado entonces para poder hacerlo lo que voy a hacer es fijarme primero quiénes son estos términos decimos el primer término tendrá que ser a 2 porque empezamos con 2 verdad entonces a 2 menos ocho quintos muy bien a tres a 3 será igual a 16 séptimos y a 4 a 4 será igual a menos 32 menos 32 novenos muy bien entonces con esta información vamos a tratar de determinar quiénes son todos los n y para eso vamos a primero detectar los patrones que hay en el numerador entonces nos podemos fijar de hecho de hecho podemos pasar este signo menos al numerador verdad de este signo menos el numerador y éste también eso nos va a servir mucho para detectar estos patrones entonces ya que tenemos este hecho vamos a ver que para que menos 8 para llegar a 16 hay que multiplicar aquí por 2 y para cambiar el signo por menos entonces hay que multiplicar por menos 2 ahora para llegar de 16 a menos 32 nuevamente hay que multiplicar - 2 entonces ya podemos intuir que que el numerador va a ser una potencia de menos 2 por ejemplo menos 8 menos 8 por supuesto no es menos 2 al cuadrado porque menos 2 al cuadrado sería 4 entonces menos 8 es menos 2 al cubo muy bien 16 es menos 2 es menos 2 a la 4 estoy acá y menos 32 es menos dos a la muy bien entonces en efecto el numerador es una potencia de 2 y ahora fijémonos cuál es la relación de la potencia con el índice del término en la serie entonces si nos damos cuenta el exponente es uno mayor que el índice verdad aquí es tres cuando el índice es 2 aquí es 4 cuando el índice straits y así entonces lo que vamos a tener es que nuestros términos a n a n van a ser igual a en el numerador vamos a tener menos 2 elevado al índice más 1 verdad es el siguiente del índice vamos a ver qué pasa ahora con el denominador por ejemplo aquí tenemos 5 7 y 9 entonces estos denominadores son los impares son los números impares y este es el el el impar 5 luego 7 9 y podemos intuir que sigue el 11 13 y demás entonces como expresamos un impar bueno este de aquí este de aquí es 2 por 2 más 1 verdad estoy acá será dos por tres que son seis más uno y este de aquí es dos por cuatro más uno entonces si nos damos cuenta estos impares es simplemente multiplicar por dos el índice y luego sumarle uno entonces aquí vamos a dividir entre dos por el índice más uno así que finalmente la serie de acá arriba se puede expresar de la siguiente forma sumamos desde 2 hasta infinito el menos 2 la n 1 sobre 2 n 1 y esta es la respuesta