Integrar series de potencias

nos dicen que fx es igual a la serie infinita de n 1 hasta infinito de n 1 entre 4 a la n 1 por x a la n iv queremos encontrar la integral definida de 0 a 1 de fx con respecto a x y como siempre si se sienten inspirados y los invito a que se inspiren pausa en el vídeo y traten de resolver esto por su cuenta o en cualquier momento pueden pausar el vídeo y tratar de resolver esa parte por su cuenta vamos a reescribir esto esto es igual a la integral definida de 0 a 1 de esto y fx es todo esto esta serie así que escribo la suma desde n igual a 1 hasta infinito de n 1 entre 4 a la n 1 por x a la n iv lo que voy a hacer a continuación quizá alguno de ustedes les parezca algo nuevo pero esto es esencialmente la integral definida de una suma de términos que es lo mismo que la suma de varias integrales definidas digamos que tengo esta integral definida de 0 a 1 de g x + hdx más otros términos con respecto a x pues esto es lo mismo que tener la integral de 0 a 1 deje de x con respecto a x más la integral de 0 a 1 de hd x con respecto a x etcétera es igual a la suma de las integrales de todos los términos individuales esto viene directamente de las propiedades de las integrales así que vamos a aplicar esto mismo acá aunque aquí lo haremos con la anotación sigma esto va a ser igual a la suma desde que n es igual a 1 hasta infinito de la integral definida de 0 a 1 de cada uno de estos términos lo escribimos la integral definida de 0 a 1 de n 1 entre 4 a la n 1 por x a la n con respecto a x ahora tendremos la suma de cada una de las integrales de estos términos así que vamos a ver esto de aquí esto es igual esto es igual a la suma desde que en es igual a 1 hasta infinito vamos a ver tomamos la anti derivada de esto tendremos este término original n 1 entre 4 a la n 1 ya que aquí no tenemos nada de equis y para nuestra integral es una constante y aquí queremos incrementar el exponente y dividirlo entre este exponente con incremento es invertir la regla de la potencia así que tenemos x a la n 1 entre n 1 solamente tomamos la anti derivada de esto y vamos a ir de 0 a 1 para cada uno de estos términos y antes de hacer esto vamos a simplificar lo obtenemos en el 1 aquí entre n + 1 acá que se cancelan y reescribimos esto como la suma desde que en es igual a 1 hasta infinito y aquí cuando x es igual a 1 tendremos uno a la n 1 entre 4 a la n 1 - 0 a la n 1 entre 4 a la n 1 podría pensar a escribirlo pero esto es claramente cero así que no lo escribo y ahora no se está quedando algo bastante bonito y simple esto va a ser igual a la suma desde que n es igual a 1 hasta infinito de un cuarto elevado a la n 1 y pueden reconocer que esta es una serie geométrica infinita cuál es el primer término aquí pues el primer término es cuando n es igual a 1 esto va a ser un cuarto elevado a la 1 más 1 igual a 2 14 al cuadrado que es lo mismo que 1 entre 16 este es nuestro primer término y nuestra proporción común va a ser pues vamos a seguir multiplicando esto por un cuarto así que nuestra proporción común aquí es un cuarto así que para una serie geométrica infinita en donde nuestra proporción común o su valor absoluto es menor a 1 sabemos que esto va a converger y va a converger en el valor 1 entre 16 dividido entre 1 - la proporción común 1 - un cuarto aquí tenemos tres cuartos así que esto es igual a 1 entre 16 por 4 tercios el 4 es 1 el 16 es 4 y nos queda un doceavo y con esto terminamos al principio parecía bastante complicado pero simplemente dijimos bueno esto es integral de una suma aunque sea una suma infinita y esto será la suma de integrales infinitas tomamos la anti derivada de estas integrales infinitas lo que pudimos hacer gracias a los poderes de las matemáticas simbólicas y nos dimos cuenta que teníamos una serie geométrica infinita de la cual sabemos cómo encontrar su suma y con esto terminamos