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Intervalo de convergencia para la derivada y la integral

Integrar o derivar una serie de potencias término a término solo funciona dentro de su intervalo de convergencia. El intervalo de convergencia de la integral/derivada será el mismo, excepto tal vez en los extremos.

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Transcripción del video

a veces a estas series queremos de llevarlas pero también a veces queremos integrarlas en general podemos hacer cualquiera de las dos cosas término por término ya qué me refiero con esto bueno pues lo que quiero decir es que en general la derivada de f f prima de x es la suma de la derivada de cada uno de estos términos la suma desde que n es igual a 1 hasta infinito de la derivada de este término ahora si lo derivamos nos queda n por x elevado a la n 1 n por x a la n menos 1 y todo eso entre en estas dos n se cancelan por lo que nos queda x elevada a la potencia en el -1 aquí lo que hicimos fue tomar la derivada con respecto de x de la misma forma podemos encontrar la integral de efe de x con respecto a x que es igual a una constante más la suma de las integrales de cada uno de estos términos la suma desde que en es igual a 1 hasta infinito de y para integrar este término tomamos el exponente le sumamos 1 y dividimos entre el exponente completo o sea que nos queda x a la n 1 entre n 1 por n n esta es una técnica muy común que te vas a encontrar muchas veces cuando estés lidiando con series de potencias pero vamos a ir un poco más a fondo porque es muy importante saber que solo se puede hacer esto para las equis que están dentro del intervalo de convergencia y como vamos a ver los intervalos de convergencia de cada una de estas series son muy parecidos pero lo que sucede en los puntos finales del intervalo es distinto así es que propongo que le pongas una pausa a este vídeo e intentes encontrar los intervalos de convergencia de cada una de estas series esta es la integral de nuestra serie original y esta es la derivada de la serie original vamos a encontrar el intervalo de convergencia y podemos hacerlo utilizando el criterio de la razón el criterio de la razón nos dice que tenemos que encontrar el límite cuando n tiende a infinito n 1 / n pero a n 1 en este caso es x a la n 1 entre n 1 y queremos dividir a n 1 entre a n pero a n es x a la n / n y no se nos olvide el valor absoluto esto es igual al límite cuando n tiende a infinito y para simplificar esto vamos a dividir numerador y denominador entre x a la n x a la n entre x a la n es un 1 pero x a la n 1 / x a la n es simplemente x la n termina arriba y n 1 termina abajo y listo que es igual al límite cuando n tiende a infinito de ahora vamos a dividir numerador y denominador entre n y nos queda en el numerador simplemente equis y en el denominador entre n es uno más uno entre en el valor absoluto y esto a cuánto es igual bueno pues uno entre n se va a ir a cero cuando n se vaya a infinito y nos queda simplemente el valor absoluto de x pero a ver qué es lo que nos dice el criterio de la razón si este límite que ya vimos que es igual al valor absoluto de x es estrictamente menor que 1 el criterio de la razón nos dice que esta serie converge si es mayor que 1 la serie diverge pero si es exactamente igual a 1 el criterio de la razón es inconcluso no nos puede decir nada vamos a escribirlo caso por caso esta serie converge para los valores de x que son estrictamente menores que 1 esta serie converge si este límite que es el valor absoluto es menor que 1 y diverge para x estrictamente mayor que 1 pero qué pasa cuando el valor absoluto de x es exactamente igual a 1 en estos casos el criterio de la razón no dice nada y tenemos que evaluarlo caso por caso así es que vamos a analizar el escenario en el que x es igual a 1 en este caso la serie es la suma desde que n es igual a 1 hasta infinito de 1 entre n 1 entre n y esta serie ya la conocemos la hemos visto en otros vídeos esta es la serie armónica o también podemos decir que es una de las series pp y de hecho hemos visto en varios vídeos que esta serie en particular divergen divergen así es que cuando x es igual a 1 la serie divergen pero qué pasa cuando x es igual a menos 1 en este caso la serie se convierte en la suma desde que en es igual a 1 hasta infinito de menos 1 elevado a la n entre n y esta es conocida como la serie armónica alternante y aquí el criterio de las series alternantes nos dicen que ésta converge converge y eso también ya lo hemos visto en otros vídeos así es que el intervalo de convergencia de esta serie el intervalo de convergencia son todas las x mayores o iguales a menos uno porque x todavía puede ser igual a menos uno porque esta serie converge pero x tiene que ser estrictamente menor que 1 porque justo cuando x es igual a 1 la serie diverge así es que x tiene que ser estrictamente menor que 1 y listo ya tenemos aquí el intervalo de convergencia para la serie original pero ahora pensemos qué pasa con el intervalo de convergencia de la serie que obtuvimos derivando a ver veamos esta serie derivada esta es igual a x a la 0 más x a la 1 más x al cuadrado más todos los términos que siguen después porque así se sigue y tal vez tú ya reconociste cuál es esta serie esta es una serie geométrica con radio común x esta es una serie geométrica con razón común x es una serie geométrica pero con razón x ahora nosotros sabemos que las series geométricas convergen con bergé si y sólo si el valor absoluto de la razón común es estrictamente menor que 1 por lo que en este caso cuando tomamos la derivada cuando tomamos f prima de x nuestro intervalo de convergencia es casi el mismo en esta serie el intervalo de convergencia son las x que son mayores que menos 1 y menores que 1 en este intervalo de convergencia x no puede ser exactamente igual a menos 1 porque en ese caso la serie divergen si x es igual a menos 1 la serie divergen y también si x es igual a 1 la serie también divergen así es que estos dos radios de convergencia se parecen muchísimo pero no son iguales ambos son intervalos de convergencia centrados en cero y tienen el mismo radio ambos pueden irse uno hacia abajo y uno hacia arriba y esta similitud generalmente sucede siempre que derivamos o integramos una serie pero tenemos que tener mucho cuidado en los puntos finales de los intervalos porque pueden ser distintos bueno y ahora te propongo que tú encuentres cuál es el intervalo de convergencia de la anti derivada de la integral de esta serie puedes utilizar el criterio de la razón pero no se te olvide analizar los casos límite lo que vas a encontrar es un intervalo centrado en cero que puede ir uno hacia abajo y uno hacia arriba pero no es exactamente el mismo intervalo porque como vas a ver esta serie converge si x es igual a menos 1 y también converge si x es exactamente igual a 1 bueno vamos a escribirlo de una vez esta serie converge si x es mayor o igual a menos 1 y menor o igual a 1 y observa todas estas series tienen el mismo radio de convergencia pero el intervalo de convergencia cambia en los finales y si tú quieres demostrar que este es el intervalo de convergencia de esta serie te recomiendo que utilices un método similar al que utilizamos con la serie original empieza con el criterio de la razón vas a llegar a esta misma conclusión pero luego todavía falta analizar los casos cuando x es igual a 1 y cuando x es igual a menos uno cuando x es igual a menos uno vas a obtener una serie alternante que si convergen y luego cuando x es igual a 1 vas a obtener una p serie pero cuyo denominador tiene un grado mayor que 1 por lo tanto esa p serie también converge o bueno te va a quedar algo muy parecido a una p serie con un grado mayor que uno y va a ser muy fácil analizar este escenario y determinar que esa serie si converge