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Introducción a las sumas parciales

La suma parcial de una serie infinita como la suma de los primeros términos (y por lo tanto "suma parcial"). Este concepto aparentemente sencillo es muy útil al pensar en series infinitas.

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Transcripción del video

digamos que tienes una serie s muy bien que no es otra cosa más que una suma infinita verdad es la suma infinita desde n igual a 1 hasta infinito de los términos a n y esto sólo es una forma digamos compacta de escribir que estamos sumando a uno con a dos más a tres y así sumamos todos estos términos por siempre verdad es bueno porque son una infinidad de términos muy bien entonces lo que quiero hacer en este vídeo es introducirte a la idea de lo que es una suma parcial ok y lo que tenemos aquí es una serie mientras que una forma parcial por ejemplo sería ésta la sexta suma parcial la sexta suma parcial sería sumar los primeros seis términos de esta serie entonces tendríamos a uno más a dos más a tres 4 + a 5 + a 6 así de fácil esto es una suma parcial y a lo mejor esto está muy abstracto porque no sabe uno quién son los agenes entonces vamos a hacer un caso más concreto digamos que nuestra serie es la suma desde n igual a 1 hasta infinito y nuestros genes estarán dados por 1 entre n cuadrada muy bien entonces esto me está diciendo bueno por ejemplo cuando n vale 1 tenemos 1 entre 1 al cuadrado y eso vale 1 cuando en el vale 2 tenemos 1 entre 2 al cuadrado que es un cuarto y cuando n vale 3 tenemos 1 entre 3 al cuadrado que es un noveno y así seguimos sumando todos estos términos verdad todos estos términos entonces la pregunta sería por ejemplo cuál es el valor de la tercera suma parcial y como siempre te invito a que hagas una pausa y trates de resolver este problema por tu propia cuenta entonces ahora vamos a hacerlo juntos muy bien entonces el primer término habíamos visto que era 1 el segundo término era 1 entre 2 al cuadrado que es un cuarto y el tercer término como ya vimos es un noveno entonces cuánto vale esta suma bueno tenemos que encontrar un denominador común que puede ser 36 y un entero son 36 sobre 36 verdad un cuarto son 9 sobre 36 simplemente hacemos 36 entre 4 que son 9 y luego 36 entre 9 son 4 por 1 son 4 guardar un noveno son 4 entre 36 entonces si sumamos esto tenemos 36 más 4 que son 40 más 9 son 49 sobre 36 muy bien entonces este es el valor explícito de la tercera suma parcial que surge a partir de esta serie muy bien entonces el objetivo de este vídeo en realidad es apreciar la idea de lo que es una suma parcial y vamos a hacer otro ejercicio para seguir practicando que íbamos a quitar todo esto y digamos que nuevamente tenemos una serie que es la suma desde n igual a 1 hasta infinito de los términos a n pero ahora digamos que nuestro nuestra enésima suma parcial tiene una fórmula y digamos que es n cuadrada menos 3 sobre n cúbica más 4 muy bien y recordemos quién es ese en nuestra enésima suma parcial es sumar todos los términos de esta serie a 1 + a 2 hasta llegar al enésimo término al n y esto nos está diciendo que es n cuadrada menos 3 sobre n cúbica más 4 muy bien entonces digamos que te encuentras a alguien en la calle y ese alguien no sé a lo mejor sabe que tú ya conoces sobre sumas parciales y te dice bueno suponte que tenemos esta serie s ahí tenemos esta serie ese y tenemos la fórmula de las sumas parciales tú podrías decirme quién es la suma desde n igual a 1 hasta 6 de los genes entonces podrías intentarlo por tu cuenta de hecho te invito a que lo hagas pero por ahora vamos a hacerlo nosotros juntos verdad entonces recordemos que esto simplemente es a uno más a dos más a tres más a cuatro más a cinco más a seis estamos simplemente sumando los primeros seis términos así que si nosotros le ponemos mucho ojo a esta expresión simplemente podemos ver que es la sexta suma parcial verdad estamos sumando desde a 1 hasta a 6 verdad que corresponde como esta fórmula que tenemos aquí sin embargo tenemos que ese 6 se puede calcular mediante esta fórmula y está verdad en este caso sería 6 al cuadrado menos 3 dividido entre 6 al cubo + 4 muy bien entonces ahora simplemente nos queda calcular esto y entonces 6 al cuadrado es 36 si le quitamos 3 son 33 y dividimos entre 6 al cubo más 46 al cubo sería 6 por 6 que son 36 y 36 por 6 serían 3 por 6 son 18 verdad son 186 por 6 son 36 y la suma nos da 61 y llevamos una verdad 8 y 3 son 11 1 y 1 son 2 entonces son 216 más 4 esos son 220 y entonces aquí tenemos la expresión para la sexta suma parcial muy bien así que con este vídeo el objetivo era realmente conocer la anotación de lo que son las sumas parciales y entender realmente lo que significan