Ejemplo resuelto: polinomio de Maclaurin

nos dicen que fx es igual a 1 entre la raíz de x + 1 y lo que queremos encontrar en esta ocasión es el polinomio de marketing de segundo grado de efe y como siempre pausa en este vídeo y vea si pueden encontrarlo vienen primero vamos a recordar que es un polinomio de mclaren un polinomio de mack loring es simplemente un polinomio de taylor centrado en 0 en x igual a cero así que la forma de ese polinomio de mclaren de segundo grado ojo nosotros sólo tenemos que encontrar esta expansión de mclaren hasta el segundo término así que este se va a ver así pd x ojo uso la [ __ ] el polinomio va a ser igual a efe de 0 más y bueno pues de haber escrito efe de 0 x x elevado a la cero pero ves o simplemente efe de cero efe de 0 + f prima de 0 esto por x más efe prima de 0 esto dividido entre 2 bueno tal vez no podrá escribir como 2 factorial pero en realidad solamente 2 podremos ver este como dividido entre 1 factorial pero simplemente 1 y está dividido entre 0 factorial que también es simplemente 1 entonces no voy a escribir eso y nos quedaría la segunda derivada evaluada en 0 dividida entre 2 y multiplicada por x cuadrada ahora bien si quisiéramos un grado mayor podríamos continuar pero recuerden sólo nos están pidiendo para el segundo grado así que esta es la forma que vamos a necesitar vamos a tener estos tres términos así que veamos si podemos evaluar la función y sus derivadas en cero bien empecemos con efe de cero efe de cero va a ser igual a uno entre la raíz de 01 y para eso es lo mismo que 1 entre la raíz de 1 la raíz principal lo cual me va a dar simplemente 1 entonces efe de 0 es igual a 1 y ahora vamos a encontrar la f prima de x y luego vamos a evaluar esa primera derivada en cero ahora bien voy a escribir por acá a fx pero de otra manera fx es lo mismo que x + 1 esto elevado a la menos un médium y si estamos pensando en la primera derivada de f bien aquí puedo usar la regla de la cadena voy a hacer la derivada de x + 1 con respecto a x lo cual es simplemente 1 por lo tanto no lo voy a poner y luego sacamos la derivada de toda esta expresión completa con respecto a x + 1 y ahí voy a usar la regla de las potencias esto va a ser lo mismo que me agarró el exponente lo bajo y me quedan menos un médium por x más 1 elevado a la anp y disminuyó en 1 el exponente entonces me quedan menos 3 medios entonces la primera derivada de evaluada en cero es simplemente menos un medio porque esto me quedaría 0 0 1 lo cual es simplemente 1 y 1 elevado la menos 3 medios eso va a seguir siendo igual a 1 así que f prima de 0 es igual a menos 1 entonces nuestro segundo término este de aquí es menos un medio ahora vamos a encontrar la segunda derivada entonces fbi prima de x va a ser igual y bueno me voy a trabajarla de la misma manera la derivada de x + 1 con respecto a x es simplemente 1 así que no lo voy a poner lo tenemos que multiplicar por 1 y después solo tengo que sacar la derivada de menos un médium que multiplican a x más uno elevado al menos tres medios con respecto a x más uno entonces tomó el exponente que es menos tres medios y lo llevó hacia el frente y me quedarían menos tres medios por menos un medio bueno esto es lo mismo que tres cuartos entonces me queda tres cuartos que multiplican a x más uno elevado a lahm y vuelvo a disminuir en uno el exponente o en dos medios entonces va a ser elevado al menos cinco medios y ahora si pensamos en fbi prima de cero bueno en x igual a cero obtenemos que esto es un elevado al menos cinco medios lo cual es simplemente uno por tres cuartos de estrés entonces efe mi prima de 0 es igual a tres cuartos así que el numerador de nuestro tercer término es tres cuartos y a esto hay que dividirla entre dos entonces me quedaría igual a tres octavos ahora si nuestro polinomio de mclaren de segundo grado que nosotros buscábamos es el siguiente pd x es igual y voy a usar sus respectivos colores me quedaría 1 y después tengo menos un medio por x menos un médium x más tres octavos de x cuadrada y hemos terminado ahí lo tienen tenemos nuestro polinomio de mclaren de segundo grado de efe que puede ser usado para proporcionar una aproximación para nuestra función especialmente si nuestra x es cercana a 0