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Visualizar las aproximaciones por medio de polinomios de Taylor

Transcripción del video

tomemos la función fx igual a e a la x para darnos una idea de cómo se ve la función hagamos un esbozo de esta función práctica de la función se va a ver algo así se va a ver algo así así es que ésta es e a la x y lo que voy a hacer es aproximar la función a la x por medio de una expansión de servir taylor o una aproximación de series de taylor y lo voy a hacer no alrededor de x igual a cero sino alrededor de x igual a tres por tomar un valor arbitrario entonces este x igual a tres y aquí tenemos la función que es de 3 que es la 3 y al cubo entonces cuando nosotros hacemos una aproximación por serie taylor la mejor aproximación de orden cero es la función constante al a3 una línea recta que pasa porque a la 3 si hacemos ahora una aproximación de orden uno será polinomio de primer grado que en este caso corresponde a la recta tangente a medida que agregamos más términos esperaremos que éstos se ajusten más al contorno de la función converjan a la función posteriormente hablaremos de convergencia y que también se da esa convergencia por ahora desarrollaremos la serie te lo para esta función con la fórmula que desarrollamos de manera intuitiva en el último vídeo empecemos entonces con el término de primer orden tenemos que fx es igual a fcc y en este caso se es igual a tres entonces fd xgd3 es igual a e a la 3 mass effect prima pensé efe lima dx es igual a a la x s de las cosas extraordinarias de esta función al aire es que si toma la derivada efe prima de x ésta coincide con ea la x de hecho coincide con la enésima deriva df al continuar derribando al aek y siempre tienes a la x fi f prima de x evaluada en 3 nos da al a3 por x - 363 más fbi prima en se fbi crimen se es en la cuenta a la 3 entre los factoriales por x menos tres al cuadrado y continúa voz más fbi prima que también sea x evaluar el css3 a la 3 sobre tres factoría al x x menos tres al cubo y así sucesivamente lo que es más interesante más que seguir agregando términos es ver qué sucede conforme estos términos se van agregando ver cómo al día agregando términos la aproximación es mejor inclusive para valores alejados de x igual a tres para visualizar esto utilice wolfram alpha wolfram alpha está disponible en wolfram alpha puntocom y de teclear algo así como series de taylor para la x en x igual a tres esto fue lo que resultó de hecho también pone la expansión aquí esta expansión es lo mismo que nosotros desarrollamos aquí a la tres más ya la 3 x x menos tres aquí lo tiene también wolfram alpha gala tres más en la 3 x x menos tres más un medio de la 3 x x menos tres al cuadrado de hecho también desarrollan los factoriales vez de tres factorías pusieron seis días ilusión con el resto los términos por acá lo que es más interesante es que de hecho se grafica los polinomios con cada vez más y más términos aquí tenemos en naranja la función fx igual ayala x y luego nos indica la aproximación de orden n se muestra con n puntos y que la aproximación de orden 1 donde tenemos un polinomio de primer grado serían estos términos estos dos términos que tenemos aquí arriba aquí tenemos el término alá 3 y el término alá 3 x x menos tres equis elevado la primera potencia si es que se lo fuéramos a graficar estos dos términos no tendríamos aquí con un punto es esta línea recta la recta está gente en x igual a tres esta es la recta tangente en x igual a 3 que es la aproximación de orden uno es x igual a 3 y esa es la línea tangente ahora si agregamos un término si tenemos un polinomio de orden 2 aquí tenemos un polinomio de dos porque tenemos un término cuadra ticos y expandimos este término tenemos x al cuadrado lo que nos da un polinomio de orden dos queremos ahora la curva que tiene dos puntos de él molinón y orden 12 la curva que tiene dos puntos lo ubicamos aquí y aquí tenemos la curva con 12 puntos aquí en la curva que está entrando pasa por el valor de x igual a tres de hecho es una parábola y no está como a su mejor trabajo de aproximación a la función a la x sobre todo cerca de x igual a 3 se queda sobre la curva un poquito más agregamos otro término dejan usar otro color que no ha usado para indicar el otro término que estamos agregando agregamos otro terminó aquí tenemos un polinomio de orden 3 gramos la gráfica del polinomio de orden 3 buscamos aquí la tenemos 12 3 puntos esta gráfica entre por aquí en la gráfica el polígono orden 3 no te queda un poquito antes pasa por la función en x igual a 3 y sale por aquí y no está como se queda un poquito más y aquí sale la función agregamos otro término tenemos ahora un polinomio de orden 4 aquí tenemos estos cuatro términos exista la curva entra por aquí nota que entre un poquito antes sale un poco después y observamos que cada vez que agregamos un término la aproximación es mejor para flores cada vez más alejados de x igual a tres agregando término obtenemos estaré aquí espero que esto te ha convencido de que entre más términos agregamos mejor es la aproximación imagínate entonces cómo es la aproximación si nos acercamos agregar un número infinito de términos