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Serie telescópica divergente

La serie telescópica es una serie en la que todos los términos se cancelan excepto el primero y el último. Este hecho hace que tales series sean fáciles de estudiar. En este video echaremos un vistazo a la serie 1-1+1-1+1-... Creado por Sal Khan.

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Transcripción del video

supongamos que tenemos la suma uno menos uno más uno menos uno más uno y así sucesivamente hasta infinito y esto lo podemos escribir usando la notación sigma como la suma desde n igual a 1 n minúscula igual a uno hasta infinito tenemos una infinidad de términos de veamos los términos empieza en uno cambia menos uno y así se va alternando esto lo podemos escribir como menos uno elevado a la n menos uno veamos si funciona el primer término cuando en es igual a uno el exponente es uno menos 10 1 a la 0 es uno cuando n es igual a 22 menos 1 es uno menos 1 a la 1 es éste menos 1 que tenemos aquí así es que esta es una manera de escribir esta serie lo que quiero hacer en este vídeo es determinar si esta serie converge a un valor finito o bien otra manera de decir esto es existe algún valor finito que represente el resultado de esta suma o por el contrario podemos establecer que esta serie diverge y la manera de hacer esto es considerar sus sumas parciales déjame escribir esto las sumas parciales de esta serie para definir estas sumas parciales vamos a usar un subíndice digamos n mayúscula así es que la suma parcial la vamos a definir como la suma desde n igual a 1 y en vez de infinito vamos a poner n mayúscula como límite superior de menos 1 elevado a la n 1 veamos lo que son estas sumas ese subíndice 1 es igual a la suma desde n igual a 1 hasta 1 es decir tan sólo el primer término tan solo este 1 este s sub 1 es igual a 1 veamos ahora ese sub dos este suv dos es estos dos primeros términos 1 - 1 calculemos ahora ese sub 3 esto es 1 menos uno más uno los tres primeros términos de la serie esto si lo calculamos es igual a 1 menos 10 11 s sub 20 y ese sub 1 es igual a 1 calculemos ahora ese sub esto es igual a 1 menos 111 que otra vez es igual a 0 de nueva cuenta la pregunta es convergen esta suma a un valor finito te invito a que le pongas pausa al vídeo e intente responderla por tu cuenta tomando en cuenta lo que hemos visto aquí de las sumas parciales bien tenemos que para que una serie converja para que una serie infinita converja el límite vamos a escribir eso por aquí si deseamos convergencia si deseamos convergencia esto equivale a que el límite cuando n mayúscula tiende a infinito de nuestras sumas parciales esto tiene que ser igual a un número finito vamos a ponerlo así un valor finito y en este caso cuánto va a ser este límite veamos si podemos escribir esto esto va a ser ese sub n veamos si podemos escribirla en términos generales ya vimos que si en mayúscula es impar s sub n es 1 y 100 en mayúscula es par s sub n es cero esto lo podemos escribir así s sub n es igual a 1 si n impar 0 si n par entonces cuál es el límite cuando n tiende infinito cuál es el límite cuando n tiende infinito de s sub n bien el límite no existe está oscilando permanentemente entre estos valores si me das un valor más si agregas un valor pasa de 1 a 0 si agregas otro valor pasa de 0 a 1 de hecho no está aproximándose a un valor finito este límite no existe este límite vamos a ponerlo aquí este límite no existe podríamos pensar que si existe porque tiene valores acotados va entre 0 y 1 pero no se aproxima a un valor en particular a medida que n tiende a infinito esto quiere decir entonces que esta serie se diverge esta serie s bergé