Series telescópicas

lo que queremos hacer en este vídeo es evaluar esta serie de aquí esta suma infinita que dice la suma desde n igualados hasta infinito de menos 2 entre n 1 por n 2 y esta es la serie que queremos calcular ahora bien vamos a ver más o menos qué dice esto para cuando n vale 2 lo que tenemos es menos 2 entre dos más uno que es 3 por 2 más 2 que es 4 el siguiente término es cuando n vale 3 y esto es menos 2 entre tres más uno que es cuatro por tres más dos que es 5 el siguiente término es menos 2 entre cuando n vale ahora vamos en 441 es cinco por cuatro más dos que seis días y seguimos sumando hasta el infinito entonces se ve que que estos números se van haciendo cada vez más pequeños de hecho lo que vamos agregando es cada vez más chico así que podemos pensar a que a lo mejor será un número finito está esta suma pero pero no se me ocurre la verdad cuánto es nada más de verlo así a primera vista así que lo que te invito es que tú hagas una pausa y que intentes hacer esta calculadora serie para ver si sí podemos coincidir después a lo largo del vídeo cuánto vale esa serie ahora vas a necesitar una sugerencia y es recordar cuál es la descomposición en fracciones parciales de esta expresión así que te invito a que hagas la pausa ahora suponiendo que ya hiciste esta pausa vamos a trabajar con esto entonces lo que necesito es expresar esta expresión de aquí adentro en fracciones parciales y expresar en fracciones parciales significa separarlo en dos fracciones esencialmente una que tenga denominador n 1 y otra que tenga denominador n 2 así que vamos a ver cómo es esto vamos a tener menos dos menos dos entre y voy a ponerlo con dos colores n más uno de un color y n 2 de otro color entonces lo que vamos a hacer es proponer proponer que esto se escribe como la suma de dos fracciones una fracción que tiene n 1 en el denominador y otra fracción que tiene a n 2 en el denominador por supuesto el numerador debe ser un polinomio de grado menor que el denominador así que como éste tiene grado 1 pues el de arriba debe tener grado 0 lo mismo pasa con esta verdad entonces la descomposición en fracciones parciales es lo que dice y realmente nos tomamos esta suma porque el común denominador es justamente este producto así que si de si empezamos a desarrollar esto ok si empezamos a desarrollar esto que es lo que nos da bueno primero en el primer sumando lo podemos multiplicar y dividir por multiplicar por n 2 y dividir también entre n 2 y que es lo que nos queda nos queda a entre n 1 y como multiplicamos por n 2 para no alterar hay que dividir entre n 2 muy bien lo mismo vamos a hacerlo con b entonces tenemos más b entre n 2 n +2 aquí me faltó cerrar por bueno multiplicamos y dividimos entre n 1 n 1 y lo que hemos conseguido aquí es que estas dos estas dos fracciones ya tengan el mismo denominador así que esto será muy fácil ya de calcular porque el denominador ya es común entonces tenemos que denominadores n 1 por n 2 por n 2 muy bien y ahora desarrollamos esto verdad cuánto es a por n 2 esto es a por n y luego a por 2 entonces tenemos a n 2 a y luego la vez tenemos b por n + b por 1 entonces ve por n más b por 1 que es ve muy bien y entonces lo que vamos a hacer ahora es agrupar todo lo que tiene n por ejemplo este de aquí con este de aquí entonces tenemos a n b en eso se agrupa como además b que multiplica a n y luego juntamos dos a más b vamos a escribir 2 y todo esto va / / / n 1 n 1 por n 2 por enemas dos muy bien entonces ahora bien esto sabemos que tiene que ser igual porque así así lo empezamos a hacer esto debe ser igual a esta primera expresión que tenemos que es menos 2 entre n 1 por n 2 por n 2 más 2 muy bien entonces tú dirás hoy hay un problema aquí yo tengo un número x n y aquí otro número entonces uno podría decir 2 a más b tiene que ser menos 2 pero cuánto tiene que ser a más b por n bueno aquí podemos pensar que tenemos 0 por n y luego le restamos 2 así que si igualamos esto tendremos que además b tiene que ser cero verdad y 2 b tiene que ser menos nos vamos a escribir esto tenemos entonces que además ve tendría que ser cero el coeficiente de n que en este caso es cero y necesitamos que dos o más b tiene que ser igual a menos 2 entonces si te das cuenta tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas así que hay que resolverlo y una forma agradable y sencilla de resolverlo es que este primer renglón lo multiplicamos por menos 1 nos queda menos a menos b es igual a menos 0 que es 0 y ahora sumamos sumamos y entonces tenemos 2 a menos a 2 a menos a es a y b - b se cancelan y esto nos da menos 2 entonces resulta que nuestro coeficiente a es menos 2 ahora recordemos de esta expresión además b tiene que ser cero pero a es menos 2 que tengo que sumarle a menos 2 para que nos dé 0 pues entonces b tiene que ser igual a muy bien entonces ya tenemos los coeficientes de cómo separar esta expresión que tenemos en la serie en una suma de dos fracciones muy bien entonces lo que vamos a tener es que esta serie de aquí esta serie de acá arriba la puede escribir de la siguiente forma es la suma desde que en es dos esta infinita ahora de esto esto de adentro lo descompusimos de esta forma está descompuesto como a / n 1 que es menos 2 - 2 / n 1 y hay que sumarle b / n 2 pero ves 2 así que tenemos 2 entre n + 2 y esto de aquí adentro es lo que hay que sumar así que para que te des una idea de qué es lo que va a pasar con esto vamos a hacer algunos algunos ejemplos por ejemplo qué pasa quién es igual a 2 quien es igual a 2 tenemos menos 2 entre dos más uno que es 3 y hay que sumar más 2 entre 2 más 2 que es 4 que esto de aquí es para n igualados vamos a ver qué pasa para n igual a 3 muy bien para n igual a 3 que tenemos si es igual a 3 tenemos menos 2 entre tres más uno que es 4 entre 4 y en este término tenemos más dos entre tres más dos que es cinco muy bien entonces quizás en este momento ya te estás dando cuenta que es lo que está pasando qué patrón está ocurriendo vamos a ver qué pasa para n igual a 4 para n igual a 4 tenemos - 2 entre 41 que es menos 2 sobre 5 2 / 42 que es 6 muy bien y seguimos así sumando hasta el infinito de hecho aquí lo que voy a hacer es no poner hasta infinito sino voy a ponerlo hasta una n mayúscula y después aplicamos el límite cuando n mayúscula tiende a infinito entonces si si sumamos hasta un límite digamos este finito vamos a sumar vamos a sumar vamos a sumar hasta el último término que que nos va a quedar vamos a sumar déjenme bajar esto va a ser menos 2 / n mayúscula + 1 n mayúscula 1 - perdón sin más + 2 / n mayúscula + 2 y esto corresponde para cuando n minúscula es n mayúscula muy bien entonces aquí es en donde viene toda la esencia de este problema porque si nos fijamos en este término el dos cuartos se cancela con el siguiente dos cuartos qué pasa con el dos quintos de aquí se cancela con el menos dos quintos de acá y así va a ocurrir para dos sextos se va a cancelar con el siguiente menos dos sextos del siguiente índice digamos y así sucesivamente hasta cancelar este de acá verdad que se va a cancelar con uno anterior entonces que es lo único que obtuvimos fíjense muy bien ya simplificamos muchísimo porque entonces esta suma tenemos la suma desde n igualados de n igualados hasta n mayúscula de menos 2 entre n 1 + + 2 entre n +2 todo esto si lo sumamos desde 2 hasta n mayúscula esto se simplifica mucho porque entonces sólo nos queda este término de aquí y este término de acá muy bien entonces sólo nos queda menos dos tercios menos dos tercios 2 / n mayúscula + 2 muy bien pero recordemos que no queremos calcularlo hasta un límite finito si no queremos hacer esta en entender a infinito entonces lo que vamos a hacer es calcular el límite límite cuando n mayúscula tiende a infinito de esta expresión de arriba que tenemos la suma desde 2 hasta n mayúscula de menos 2 entre n 1 + + 2 entre n 2 que este límite pues será igual al límite de lo que tenemos en la derecha verdad al límite cuando n tiende a infinito de menos dos tercios 2 / n 2 entonces esto no depende de la n mayúscula pero esto sí y a medida quien se va haciendo muy muy grande estamos dividiendo entre números muy grandes así que esto se va apareciendo cada vez más acero se va haciendo más y más chico y por lo tanto este límite es menos dos tercios muy bien y ya está toda esta suma o esta serie la suma infinita en realidad no es otra cosa más que menos dos tercios muy bien y de hecho a estas sumas o estas series en donde los términos se van cancelando como lo hicimos acá abajo se les llaman sumas tales sumas telescópicas o series telescópicas así que se ve que que que éstas cuando incluso desde aquí podríamos ver que se iban a ir cancelando porque éste corresponde a un término anterior verdad que éste entonces a estas se les llaman series telescópicas telescópicas muy bien y justo tienen las series telescópicas tienen esa propiedad de que se van cancelando los términos de forma recursiva y entonces fue fue un problema muy bonito muy agradable al menos para mí fue muy satisfactorio aunque fue un poco engorroso espero te haya gustado mucho