Introducción a la propiedad asociativa de la multiplicación

La imagen muestra $3$‍ renglones con $2$‍ puntos en cada uno. Podemos usar la expresión $3\times 2$‍ para representar el arreglo.

Esta imagen muestra el mismo arreglo de $3\times 2$‍ copiado $4$‍ veces.

Usamos la expresión $(3\times 2)\times 4$‍ para representar el arreglo.

Si contamos los puntos, obtenemos un total de $24$‍.

¿Obtendremos el mismo total si cambiamos los paréntesis de modo que los números estén agrupados de una manera diferente?

Vamos a reagrupar los números de modo que el $2$‍ y el $4$‍ estén agrupados juntos: $3\times (2\times 4)$‍.

También podemos dibujar un arreglo para representar esta expresión. Vamos a empezar con $2$‍ renglones con $4$‍ puntos en cada uno. Este arreglo muestra $2\times 4$‍.

Ahora necesitamos copiar el arreglo $3$‍ veces para representar la expresión $3\times (2\times 4)$‍.

Si contamos los puntos, seguimos obteniendo un total de $24$‍.

¡Reagrupar no cambia la respuesta!

La regla matemática que nos permite reagrupar números en un problema de multiplicación sin cambiar la repuesta es la propiedad asociativa.

En el siguiente problema de multiplicación, vamos a agrupar los números de dos maneras diferentes y mostrar que obtenemos el mismo producto de ambas maneras.

Empecemos por agrupar el $5$‍ y el $4$‍. Podemos evaluar la expresión paso a paso.

Ahora agrupemos el $4$‍ y el $2$‍.

Obtuvimos el mismo producto aunque los números estuvieron agrupados de maneras diferentes.

Las tres expresiones son equivalentes:
$\phantom{=}5\times 4\times 2$‍
$=(5\times 4)\times 2$‍
$=5\times (4\times 2)$‍

Ahora tratemos de evaluar una expresión de dos maneras diferentes.

Ahora resuelve la misma expresión que se agrupó de una manera diferente.

$(3\times 2)\times 5=30$‍ y
$3\times (2\times 5)=30$‍

Obtuvimos el mismo producto aunque agrupamos los números de dos maneras diferentes.

Podemos usar la propiedad asociativa para encontrar expresiones que son equivalentes.

Empecemos con la expresión $2\times 2\times 5$‍.

Podemos agrupar esta expresión de dos maneras diferentes de modo que ambas sean equivalentes a $2\times 2\times 5$‍:

Al evaluar cada expresión paso a paso podemos encontrar otras expresiones que también son equivalentes.

Así que nuestra expresión original, $2\times 2\times 5$‍, también es equivalente a $4\times 5$‍ y $2\times 10$‍.

Reagrupar puede hacer que sea más fácil resolver un problema de multiplicación.

Veamos la expresión $4\times 4\times 5$‍.

Podemos agrupar la expresión de dos maneras:

Si evaluamos la primera expresión paso a paso, obtenemos: $(4\times 4)\times 5=16\times 5$‍

Si evaluamos la segunda expresión paso a paso, obtenemos: $4\times (4\times 5)=4\times 20$‍

Podría ser más fácil encontrar el producto de $4\times 20$‍ que el de $16\times 5$‍.

Aunque los números se hayan agrupado de manera diferente, ambas expresiones dan el mismo producto.