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Ejemplo alternativo de matriz de transformación de base

Ejemplo en el que encontramos una matriz de transformación para una base alternativa. Creado por Sal Khan.

Transcripción del video

bien repasemos brevemente lo que hemos hecho en los vídeos pasados supongamos que tengo una transformación lineal de kepa de rn rn ahora yo sé que si usted es una transformación lineal y trabajo con coordenadas estándar entonces la imagen de un vector x que está en coordenadas estándar es igual a una matriz a multiplicada por el vector x esto es cierto si x está en coordenadas estándar de hecho vamos a escribirlo en coordenadas estándar navas estándar lo que tenemos es que tengo mi vector x entonces multiplicar por la matriz es lo mismo que aplicar la transformación de bueno pero qué pasa si no estamos trabajando en las coordenadas estándar nosotros sabemos ahora que rn tiene múltiples bases así que supongamos que ve es una base de rn así que son n vectores y realmente independientes b1 b2 ven son n vectores finalmente independientes que están en rn y entonces b es una base es una base de rn entonces podríamos definir una matriz de cambio a base c qué consistía en simplemente una matriz cuyas columnas eran precisamente los vectores de mi base de 1 todos hasta estas serán mis columnas y decíamos que sí la matriz cambio base para la base para mí entonces el vector x se podía representar en coordenadas con respecto a la base b es decir aquí teníamos el vector x en coordenadas respecto a la base b y la imagen de x también podría ser representada en coordenadas respecto a la base b podría tomar las coordenadas respecto a la base de té de x ahora en el vídeo pasado o en alguno de los vídeos anteriores vimos qué si tenía un vector expresado en coordenadas respecto a la base b y lo multiplicaba por la matriz de cambio de base ce lo que obtenía era precisamente el vector ha expresado en la base estándar y si al contrario empezaba con el vector en coordenadas estándar entonces como se dice una matriz invertible en nuestras condiciones podría simplemente multiplicar esta ecuación por sea la menos 1 del pcc y obtener que el vector a las coordenadas del vector respecto a la base b eran iguales eran iguales o son iguales hacia la menos 1 por el vector en coordenadas estándar así que volviendo a esta situación si yo empiezo con el vector en coordenadas respecto a la base b puedo multiplicar por la matriz c y obtener el vector x y si empiezo con las coordenadas estándar de la imagen del vector x bajar la transformación puedo multiplicar por ser la menos 1 y obtener las coordenadas de la imagen de x en la base b ahora bien nosotros dijimos bueno esto es lo que queremos entonces debe en vez de tener que hacer todo este camino debe haber una matriz que simplemente me envíe directamente al vector x en coordenadas respecto a la base ve a el vector de coordenadas de su imagen bajo la transformación en la base b es decir aquí existe una matriz de que hacía directamente este trámite por nosotros y de hecho en el vídeo pasado dijimos que d de que llamamos la matriz asociada a la transformación t respecto a la base b era igual hacia la menos 1 por a por c a la matriz a la transformación t no le interesan las coordenadas de nuestro vector x la transformación t siempre manda al vector x al mismo punto ya sea que esté en coordenadas estándar o en coordenadas respecto a la base b entonces estos dos vectores este sector y este vector son simplemente expresiones del mismo vector lo único que está cambiando es por así decirlo el nombre que le estamos dando uno es el nombre respecto a la base estándar y otro es el nombre respecto a la base b del mismo modo este vector y este vector son exactamente el mismo vector lo único que cambia es el nombre o la forma de describir ese vector así que esta fue la ecuación a la que llegamos ahora es también lógico preguntarse si podemos hacer al revés qué pasa si hubiéramos empezado con la matriz de la transformación en términos de la base bake qué pasa si originalmente hubiéramos tenido de pues entonces podríamos haber dicho lo siguiente desigual hacia la menos uno por porsche entonces si yo multiplico al menos uno de ambos lados y multiplicó por la derecha por ser la menos 1 entonces obtengo que la matriz de por la matriz inversa de c debe ser igual a la matriz inversa s por la matriz por la matriz inversa este producto aquí es la matriz identidad así que lo puedo quitar y simplemente quedarme con ah sea la menos 1 por a y si ahora multiplico del lado izquierdo entonces obtengo ce por de por ser al menos uno es igual igual por lo menos uno qué es lo mismo que la matriz identidad de nuestro es mi identidad por la matriz a que simplemente sal así que tengo que es igual hace por de porsche a la menos 1 y esto es algo interesante porque ahora podemos si tenemos la transformación en términos de una base obtener la matriz de la transformación respecto a la base estándar vamos a poner esto en práctica vamos a hacer un ejemplo concreto ya no vamos a trabajar en r2 así que voy a tener una transformación lineal que va de r2 r2 y vamos a suponer que en términos de la base estándar la imagen de un vector x vector tdx está dado por el producto de la matriz 3 - 2 2 - 2 el vector así que en otras palabras esta matriz de aquí la matriz ok supongamos que ahora me dan otra base de r2 pongamos que ahora quiero trabajar con la base de red o nada por el conjunto 12 12 sector 12 y el vector 2 1 esa va a ser mi base nueva de r2 es muy fácil ver que estos vectores son linealmente independientes y que por lo tanto son una base de r2 lo que quiero hacer es escribir una matriz de encontrar una matriz de tal que si la multiplicó por el vector de las coordenadas de un vector x respecto de r2 obtengo las coordenadas respecto a la base b de su imagen bajo la transformación de acuerdo con la fórmula que teníamos de acuerdo con la fórmula de acá arriba esta matriz de está dada por la inversa de la matriz del cambio de base por la matriz a por la matriz de cambio base así que el primer paso es encontrar la matriz de cambio de base y su inversa para encontrar la matriz de cambio de base es muy sencillo la matriz de cambio de base s es simplemente la matriz que tiene por columnas a los vectores de mi base la primera columna es el primer vector el 12 y la segunda es el segundo vector el 2 1 así que esa es mi matriz de cambio de base ahora para encontrar su inversa yo ya tengo una fórmula para las inversas de las matrices de 2 x 2 es uno entre el determinante de c en determinante de la matriz de cambio base determinante la matriz de cambio base es igual a 1 x 1 que es 1 - 2 x 2 x 41 menos 4 que es menos 3 así que la matriz inversa es uno entre el determinante de c 1 entre 3 x intercambio los elementos en la diagonal en este caso como son iguales se queda igual la matriz y en los elementos fuera de la diagonal les agrega un signo menos esa es la inversa de mi matriz de cambio de base bien entonces ahora sólo me resta aplicar la fórmula aplicar la fórmula d es igual la inversa en matriz de cambio de base lo voy a poner en verde aquí apenas un tercio por la matriz - 2 2 multiplicada por la matriz de azul de acá la presa aquí es la - 2 - todos y eso multiplicada por la matriz de cambio de base multiplicada por la 2 y aquí hay que hacer toda la cuenta hay que hacer todo este producto primero vamos a trabajar con esta parte del producto con el producto de estas dos matrices la amarilla por la azul esto de nuevo es una matriz de 2 x 2 su primera entrada la entrada 11 es la primera fila por la primera columna 3 por 1 es 3 más menos 2 por 2 que sería menos 43 menos 4 es menos 1 la entrada 12 sería primera fila por segunda columna 3 por 12 6 más menos 2 por 1 6 - 24 la entrada 21 en segunda fila por primera columna 2 por 12 más menos 2 por 24 menos 42 menos 4 es menos 2 -2 bien ahora han entrado 22 sería segunda el segundo renglón por segunda columna dos por dos es cuatro más menos 2 por 1 serie 4 minutos sería 2 positivos muy bien ahora eso todavía no tengo que multiplicar por menos un tercio por la matriz - 2 - 2 bien y esto cuánto me da y vamos a hacer solo el producto de matrices y lo voy a multiplicar un tercio por ahí el producto de estas dos matrices es de nuevo en fer matriz de dos por dos ninguna sorpresa y primera fila por primera columna 1 por menos 1 más menos 2 por menos 2 que sería 4 positivo menos uno más 4 positivo es 3 positivo la primera fila por segunda columna 1 por 4 es 4 menos dos por 12 4 - 4 más menos 4 0 segunda fila por primera columna menos dos por menos uno es dos positivos uno por menos dos esto es negativo 2 - 2 0 ok ahora segundo renglón segundo renglón por segunda columna menos dos por cuatro es menos ocho más dos por una que es 28 menos ocho más dos es menos seis y eso lo tengo que multiplicar por menos un tercio ya esto me da el resultado que quiero esta es la matriz d menos un tercio por tres es menos 100 y menos un tercio por menos seis es dos positivos y esta es la matriz de que estoy buscando es decir esa matriz es precisamente la que me convierte a un vector en coordenadas respecto a la base ve en su imagen bajo la transformación t con respecto en coordenadas con respecto a la base b en el próximo vídeo veremos que esto realmente funciona que esta matriz de la matriz realmente hace lo que yo quiero realmente convierte a los vectores de esta forma