Ejemplo alternativo de matriz de transformación de base 2

repasemos brevemente lo que hemos hecho en vídeos pasados estamos trabajando con transformaciones lineales que iban de rn en rm y nosotros sabíamos que si el vector x está expresado en coordenadas estándar es decir respecto a la base estándar de rn entonces su imagen se podía encontrar como el resultado de multiplicar una matriz por el vector x por el lado izquierdo es decir tx era igual a de x esto lo representa vamos así si estamos trabajando en coordenadas estándar entonces x x la matriz a tenía como resultado el vector de x ahora bien qué pasaba si teníamos otra base para ir m si tenemos una base alternativa para rm entonces las coordenadas con respecto a la base b si tenemos el vector x expresado en coordenadas respecto a la base b y lo multiplicamos por una matriz de lo que teníamos eran las coordenadas de la imagen respecto a la base b es decir este proceso acá abajo tenía y tenemos una matriz de que directamente nos daba la imagen las coordenadas de la imagen respecto a la base ve además como teníamos ave que era una base para el re n podríamos definir la matriz de cambio base que es simplemente una matriz cuyas columnas son precisamente los vectores de la base y entonces para pasar de las coordenadas respecto a la base vean las coordenadas estándar simplemente teníamos que multiplicar en este vector de coordenadas por la izquierda por la matriz c y obtenemos las coordenadas estándar y si por el contrario teníamos las coordenadas estándar de un vector lo multiplicamos por la matriz se inversa y obteníamos las coordenadas respecto a la base b entonces nosotros derivamos que la matriz de esta matriz que hacía esto tenía que ser igual a c inversa por a por c básicamente lo que hace la matriz de es directamente subir acá pasar acá y bajar de nuevo en el vídeo pasado trabajado trabajamos con un ejemplo concreto en r2 teníamos la transformación de drd2 en r2 dada por tv x era igual a la matriz a era 3 - 22 menos 2 x el vector x y tomamos una base alternativa para r 2 que era la base 12 y el vector 2 1 nuestra matriz de cambio coordenadas entonces era esta y tenía esta inversa entonces siguiendo esta fórmula debe hacer igual hace inversa por a por c y esto es lo mismo que menos un tercio por la matriz 1 - 2 - 2 1 por la matriz 3 menos 22 minutos por la matriz 12 21 y eso el resultado de todo esto vimos que era menos 1 002 ésta era la matriz d y dijimos que esta matriz de tenía este efecto que producía esto así que ahora vamos a checar esto vamos a ver qué es lo que hicimos realmente tiene sentido bien para checar que la matriz de realmente tiene el efecto que deseamos vamos a empezar con un vector x factor x en r2 digamos vamos a usar el 1 menos 1 ese va a ser mi vector y lo primero que tengo que hacer es encontrar su imagen bajo la transformación t ahora yo sé que me quebraron las cuentas de este lado yo sé que te x tx es igual a a de x x x y es precisamente esta matriz de aquí así que esto es lo mismo que 33 - 22 - todos multiplicada por el vector x muy bien entonces cuánto vale te de uno del lector te de del vector 1 - 1 pues simplemente vale el producto de la matriz 3 - 2 2 - 2 por el vector si hago este producto de matriz vector obtengo tres por uno es 3 más menos 2 pero menos uno que es 2 tres más dos que es 5 y luego 2 por 12 más menos 2 por menos 12 de nuevo así que el 2 más 2 6 4 así que tve keys vale 5 muy bien así que lo que tengo ahorita es precisamente la parte superior de este diagrama esta parte de aquí voy a ahora cuánto vale el vector x en la base b con verde cuánto vale el vector x en coordenadas respecto a la base d pues si recuerdan si recuerdan tenían una fórmula que me decía que el vector es un vector ha expresado en coordenadas respecto a la base b era igual a la inversa de la matriz de cambio de base por el vector en coordenadas estándar así que en este caso la matriz de cambio de base la inversa la matriz de cambio de base es menos un tercio vemos un tercio de esta matriz así que el vector x en coordenadas respecto a la base b es igual a menos un tercio multiplicado por la matriz 1 - 2 - 2 1 y eso multiplicado por el vector 11 ahora eso es lo mismo que menos un tercio multiplicado por el vector uno por uno es uno más menos 2 por menos uno que es 23 menos 2 por uno es menos dos más menos uno por uno que serían menos 3 ahora multiplicó para al menos un tercio y obtengo el vector menos 11 miren qué chistoso este vector el doctor original era el 11 y este vector fue el menos 11 bien entonces el vector x en coordenadas respecto a la base ve que puedo poner un distintivo el vector - 1 respecto a la base p ahora bien si lo que hay acá arriba este renglón equivale a multiplicar por la matriz así que ahora lo que tengo que hacer es multiplicar por la matriz d la matriz de que es está aquí así que déjenme hago eso por acá cuánto vale de multiplicada por el vector x en coordenadas respecto a la base b pues eso vale la matriz de es la matriz 1 002 multiplicada por el vector - 11 recuerden que esto está en coordenadas respecto a la base y cuánto me da esto pues sencillamente es menos 1 x menos 1 1 positivo y 0 más o menos uno por menos 10 por 11 y luego 0 por menos 10 más 2 por 1 que sería 2 y esto nos gusta en coordenadas respecto a la base b esto es entonces el vector 12 congelar respecto a la base ve bien entonces aquí para pasar de este vector a este otro lo que hicimos fue multiplicar por la matriz de inversa y si lo que decimos es cierto este vector este vector debe ser igual debe ser igual a las coordenadas del vector trx respecto a la base ve y esto es cierto pues vamos a checar vamos a checar rápidamente esto quienes son las coordenadas del vector 54 del vector 54 respecto a la base estamos en frentes respecto a la base de pues de nuevo es tengo que multiplicar por la matriz de cambio de base inversa así que es menos un tercio recuerden que aquí tengo la matriz de cambio base 1 - 2 - 2 1 para donde inversa la matriz de cambio base x el vector 54 así que esto es una más un tercio te quiere 1 por 15 más menos 2 por 4 es 8 528 sería menos 3 el estrés y luego tengo menos 2 x 5 es menos 10 más uno por cuatro que menos 10 4 que sería menos 6 y ahora si multiplicó por el menos un tercio tengo 12 que es precisamente esto precisamente es este vector así que si es cierto que si multiplicó este vector por la inversa de la matriz de cambio de base obtengo este vector el 12 en otras palabras lo que acabamos de ver lo que acabamos de ver es que es completamente equivalente primero a convertir a coordenadas respecto a la base de y multiplicar por la matriz d llegar a este vector primero aplicar la transformación y luego convertir las coordenadas ahora esto no es una prueba formal de la fórmula de acá arriba esto no es una prueba formal de esto si quieren la prueba tienen que ir al vídeo pasado pero definitivamente demuestra que esto funciona y bien quizás estoy preguntando quizás estén preguntando para qué sirve esto para qué sirve pues antes de contestar esta pregunta voy a citar una cita de un maestro de álgebra metros de altura la cita en inglés está en inglés pero la voy a traducir y un maestro le dijo uno de sus alumnos que el álgebra lineal el álgebra lineal es el arte es el arte de encontrar encontrar la base adecuada y esto es una cita muy bonita y lo que significa es que en algunas bases las matrices toman formas más simples por ejemplo si comparan esta matriz a contra esta matriz de pueden notar que esta matriz es diagonal y entonces aplicar esta matriz multiplicar por esta matriz es muchísimo más sencillo noten que simplemente lo que pasó fue que multiplique la primera coordenada este vector por menos 1 y la segunda coordenada este vector por 2 y obtuve este vector así que esta matriz es más sencilla y eso es muy útil en problemas en los que tienes que calcular muchísimas veces o tienes que calcular muy rápido imagínense que tuvieran que aplicarle la transformación t a un vector y luego a eso volverse y aplicar la transformación p por lo que harían sería multiplicar la matriz a por el vector y a eso multiplicarlo a través la matriz a ahora imagínense que tuvieran que hacerlo a 100 veces entonces a hacerlo con la matriz a sería muy complicado pero hacerlo con la matriz de sería relativamente sencillo así que en problemas especialmente problemas de computador de computación es mucho mejor trabajar con bases en las que las transformaciones son más sencillas y quizás tengan este problema de que no tienen que convertir las coordenadas pero realmente el esfuerzo que haces para eso relativamente es poco relativo a cuánta esfuerzo que tomaría hacer este proceso cientos y cientos de veces así que realmente esta sitio es muy cierta el álgebra lineal es el arte de encontrar la base adecuada