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Contenido principal

Matriz invertible de cambio de base

Usamos un cambio de base invertible para ir entre diferentes sistemas de coordenadas. Creado por Sal Khan.

Transcripción del video

como ya lo hemos hecho en varios vídeos vamos a suponer que tengo un conjunto de vectores linealmente independientes digamos b1 b2 hasta beca y entonces b es una base de un sub espacio vectorial de dimensión k también voy a suponer que cada uno de los vectores de esta base de uno de dos hasta de acá todos pertenecen a rn son miembros de rn en el vídeo pasado vimos cómo definir una matriz que llamamos de cambio de base y lo que era era una matriz que tenía como columnas a los vectores de mi base a b1 b2 hasta beca esas eran las columnas de mi matriz así que tengo acá columnas y como cada vector de la base pertenece a rm cada vector tiene entradas así que tenía n filas así que la matriz de cambio base es de n por k también vimos en el vídeo pasado que si tenía un vector que estaba en rn entonces se suponía que estaba en el sub espacio vectorial generado por la base b entonces teníamos que a él igual a la matriz del cambio de base por el vector de las coordenadas de a con respecto a la base de todo esto ya lo habíamos visto en el vídeo pasado así que si conozco las coordenadas de a con respecto a la base b y le multiplicó por la izquierda la matriz de cambio de base entonces obtengo las coordenadas estándar de a y al revés también podía resolver un sistema ecuaciones y obtener a partir de las coordenadas estándar de a las coordenadas con respecto a la base b ahora en este vídeo vamos a suponer que la matriz ce es una matriz invertible que se posee una inversa y que significa eso que podemos decir hacer que la matriz c pues por un lado nos dice que se debe ser una matriz cuadrada y eso quiere decir que la matriz se tiene la misma cantidad de filas que de columnas y además nos dice que en particular sus columnas son linealmente independientes en realidad también sus filas pero vamos a trabajar con las columnas como en este caso las columnas son miembros de una base y por definición esos tienen que ser linealmente independientes esta segunda condición es un poco redundante en este caso ahora bien si se es cuadrada entonces como todos estos vectores todas las columnas son hembras de rn cada tiene que ser igual a n así que si se descuadra da entonces k es igual a n o lo que es lo mismo tengo n vectores en mi base tengo n vectores básicos si ese es el caso entonces podríamos preguntarnos quién es el sub espacio generado por b pues ahora tengo n vectores linealmente independientes sectores linealmente independientes dentro de rn siempre que tenga un conjunto de n vectores linealmente independientes dentro de rn lo que tengo es una base para rn puesto que cualquier base de rm es exactamente un conjunto de n vectores linealmente independientes así que ve es una base para crm ahora bien si se es invertible entonces puedo decir que cualquier vector de rn se puede expresar como una combinación lineal de los vectores de la base de las columnas de ce en el vídeo pasado nos teníamos que asegurar que el vector a estuviera dentro del psuv espacio vectorial generado por los vectores de la base pero ahora no tenemos que hacer eso porque si se es invertible entonces el sub espacio vectorial generado por la base b es todo rn de hecho al revés también es cierto es decir si el sub espacio vectorial generado por la base b es todo rn entonces tengo n vectores linealmente independientes en la base d y además tengo una matriz cuadrada la matriz de cambio de base es cuadrada y sus columnas por ser miembros de la base son linealmente independientes así que esto es un sí sólos y si el sub espacio bacterial generado por b es todo rm entonces es una matriz invertible y esto es bastante útil porque ahora puede reescribir esta ecuación de un modo mucho mejor en el vídeo pasado si lo que quería era obtener las coordenadas de a con respecto de una cierta base b entonces tenía que resolver un sistema de ecuaciones y hacer un procedimiento todo engorroso pero si mi matriz de cambio base c es invertible entonces para empezar todos los vectores de rn son combinación lineal de los vectores de mi base b así que a siempre está en el generado de la base b pues b generar todo rm y si multiplico esta ecuación por la matriz inversa obtengo se inversa por c por el vector de coordenadas de a con respecto a la base b es igual a c inversa por el vector a esto simplemente es la matriz identidad así que esto lo puede escribir simplemente como las coordenadas con respecto a la base ve el vector de coordenadas de a con respecto a la base b es igual a c inversa por nuestro vector a bien vamos a hacer un ejemplo de esto para ver cómo funciona vamos a usar estas fórmulas vamos a hacer un ejemplo concreto y vamos a trabajar r2 voy a proponer una base es más mejor primero empiezo con los vectores vamos a tomarnos un b1 que va a ser el 13 y vamos a suponer que ve 23 vector 21 y les dejo ejercicio verificar que sus vectores son linealmente independientes y que entonces el conjunto b que contiene a b1 y b2 es en realidad una base para todo el espacio vectorial de r2 muy bien entonces b es una base para r2 sale muy bien pues con esta información podemos escribir la matriz de cambio de base la matriz de cambio base es la matriz 1 2 3 1 y resulta ahora que se es invertible puedo simplemente calcular su inversa antes que nada el determinante s es igual a uno por uno menos tres por dos que es uno menos seis que es menos cinco y ya habíamos obtenido en el pasado una fórmula para la inversa de una matriz de dos por dos simplemente era seã alã menos uno es uno entre el determinante o sea uno entre menos 5 multiplicado por la matriz e intercambió los elementos de la diagonal que ahora son el mismo y les cambió el signo a los otros dos menos dos y menos tres y ahí tenemos la inversa algo interesante que aprovecho para comentarles es que si tienen una matriz con coeficientes reales y que su determinante es distinto de cero entonces siempre tiene una inversa bien pues supongamos que tengo un vector a que está en r2 y voy a suponer que a digamos es el vector 72 entonces quiere encontrar cuáles son las coordenadas de a con respecto de la base p así que con respecto a la base de quién es pues ahora estoy en esta situación y puedo aplicar la fórmula conozco quién es y tengo mi motriz inversa así que se multiplicó se inversa por el vector y obtengo las coordenadas ok déjenme lo noto por aquí las coordenadas de a con respecto a la base b es igual a la matriz de s inversa multiplicada por el vector a en las coordenadas estándar así que las coordenadas de al respecto a la base b es igual a la inversa que es menos un quinto por la matriz 1 - 3 - 21 multiplicado por el vector qué es el 72 ya cuánto es igual esto pues es menos un quinto multiplicado por el vector que nos da el producto de matrices 1 por 7 más menos 2 por 27 menos 4 que es 3 y luego menos 3 por 7 que es menos 21 más 1 por 2 es menos 21 por dos es 1919 así que las coordenadas de a con respecto a la base b las coordenadas con respecto a la base b son y sólo tengo que multiplicar el menos un quinto por el vector menos tres quintos y luego 19 puntos positivos así que esas son las coordenadas de mi vector con respecto a la base b bien pues vamos a verificar esto vamos a checar que lo que acabamos de hacer si funciona las coordenadas con respecto a la base me dicen los coeficientes de la combinación lineal que me da el vector así que esto sería menos tres quintos por mi primer vector de mi base que sería el b 11 13 + 19 quintos por el segundo vector de la base 2 1 esto me debería dar el vector a ahora tienes esto pues esto es menos tres quintos por uno y luego menos tres quintos por tres menos nueve quintos más y ahora multiplico el otro vector es el 19 quintos por 2 que sería el 38 quintos y 19 por una vez 10 en el quinto si son nuestros dos vectores que obtengo obtengo menos tres quintos más treinta y ocho quintos que es 35 quintos 35 entre 5 y 7 y luego menos 9 quintos más 19 quintos es diez quintos o sea dos así que de nuevo obtuve el vector y el lector definitivamente tiene coordenadas con respecto a la base de simplemente es menos tres quintos del primer vector de uno más 19 puntos del segundo vector de 2 ahora qué pasó si quiero hacer lo contrario supongamos que digo qué el vector w tiene coordenadas con respecto a la base ve digamos algo simple 1 1 11 entonces quién es el vector w en términos de la base estándar quiénes son sus coordenadas estándar pues ahora simplemente tengo que multiplicar al vector de coordenadas por la matriz de cambio de base y lo tengo que multiplicar por la izquierda eso es importante así que la matriz de cambio base es la 13 21 las coordenadas de w con respecto a b 11 y esto nos da uno por uno más dos por uno es tres y luego tres por uno más uno por uno + 1 es 4 así que w es simplemente el vector 34 así que si nuestra matriz de cambio de bases invertible que como vimos es equivalente a que nuestra base genere a todo rm entonces podemos pasar rápidamente entre las coordenadas estándar y las coordenadas con respecto a una base y viceversa entonces estas son coordenadas con respecto a una base y estas son sus coordenadas estándar estas son las coordenadas de un vector respecto a la base y estas son sus coordenadas estándar y lo hacemos utilizando esta fórmula en la que podemos decir abre las coordenadas con respecto a la base son simplemente la matriz inversa el cambio de base por el vector a o diciendo que el vector respecto a la base estándar es igual a la matriz de cambio coordenadas por el vector de coordenadas con respecto a la base