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Contenido principal

Matriz de transformación con respecto a una base

Encontramos la matriz de transformación con respecto a bases no estándar. Creado por Sal Khan.

Transcripción del video

supongamos que tengo una transformación lineal que va de rn en r así que te es una función cuyo dominio es rm y cuyo contra dominio también es r si me dando un vector x en rn entonces te lo transforma en otro vector lrm que no manda un vector que digamos podemos denotar por tx es decir trx es la imagen de x bajo la transformación t o lo que es lo mismo de x es el resultado de aplicarle la transformación t al vector x ahora bien como t es lineal como t es lineal nosotros hemos visto tve keys es igual a una matriz a x el vector x de hecho decimos que a es la matriz la empresa asociada con la matriz de la transformación es la matriz a es la matriz de la transformación t y eso sólo significa que te dé x es igual a x x ahora últimamente hemos visto que rn tiene distintas bases y que por lo tanto el vector x se puede expresar en coordenadas con respecto a distintos sistemas ordenados con respecto a distintas bases así que tiene x es igual a a de x si y sólo si no sólo cuando x está expresada en coordenadas estándar así que en realidad hay la matriz de la transformación t con respecto respecto la base estándar de crm vamos a hacer esto un poco más concreto vamos a suponer que tengo una base ve un bebé es una base de rn así que ve tiene n vectores finalmente independientes b1 b2 si hasta ven son n vectores linealmente independientes así que el vector bueno para empezar ve como son n vectores linealmente independientes en rn b es una base de es una base de o para terreno el vector x entonces se puede expresar en coordenadas con respecto a la base b podemos escribir las coordenadas con respecto a la base b cuando simplemente escribo x así solito simplemente estoy refiriéndome a que x está en coordenadas con respecto a la base estándar por eso nunca usábamos esta parte porque siempre que hablamos de vectores estaban escritos en términos de la base estándar pero si tenemos otra base p entonces tengo que el vector x se puede expresar en coordenadas con respecto a esa base entonces como decía antes no le interesa cómo está escrito el vector x no le interesa cuál es el nombre por así decirlo la imagen de t la imagen del vector x bajo la función t simplemente sería de nuevo trx pero ahora también podríamos expresar atv x en coordenadas con respecto a la base b y en la imagen de este vector del vector x con respecto a la base ve de nuevo tiene que ser el mismo vector que estaba siendo la imagen con respecto a la base estándar muy bien si cuando estamos trabajando con la base estándar existía esta matriz a que multiplicada por el vector x me daba la imagen en términos de la base estándar con coordenadas en la base estándar es lógico preguntarnos existe una matriz d sistema triste tal que de multiplicada por el vector x en coordenadas con respecto a la base ve si esto es lo mismo que directamente la imagen del vector x en coordenadas respecto a la base b y una respuesta es que sí vamos a analizar esto con un poquito más de cuidado antes que nada tenemos que recordar que podemos definir algo que es la matriz de cambio de base se es la matriz de cambio de base para la base b y lo que es es simplemente una matriz cuyas columnas son precisamente los miembros de mi base de uno de dos así hasta ve así que es una matriz de n columnas además como cada uno de estos vectores está en rn entonces estos vectores son de entradas cada uno así que esto es una matriz de gm por efe y puedo decir algo aún más fuerte tengo n vectores y n filas en renglones y bien en el renglón de tiene columnas y además las columnas son linealmente independientes así que se es invertible invertir además en el vídeo pasado vimos algunas fórmulas interesantes interesantes si empiezo con mi vector con un vector escrito en coordenadas respecto a la base b lo multiplicó con una matriz lo que tengo es el vector a pero en términos de la base estándar tengo simplemente el vector de nueva cuenta y como esta matriz es invertible puedo multiplicar esta ecuación por ser la menos 1 por la izquierda de ambos lados del igual entonces lo que tendría ese al menos uno por su identidad multiplicada por el vector a ver las coordenadas del vector respecto a la base de ordenador de art respecto a la base ve y esto va a ser igual al menos uno por el vector así que estas ecuaciones nos permiten pasar de la base estándar a la base de coordenadas respecto a la base b y viceversa con esto puedo reducir esto o cambiar esto esta ecuación algo más útil lo que tengo lo que tengo hasta ahora es que d por multiplicar por el vector x respecto a la base de la matriz de me debe dar lo mismo las coordenadas de la transformación de la imagen de x bajo la transformación t respecto a la base b ahora yo sé quiénes son las coordenadas de la imagen de x bajo la transformación en términos de la base estándar simplemente de x es igual a a por el vector x así que esto es lo mismo que las coordenadas respecto a la base b de el vector a por equis respecto a la base bien entonces lo que tengo son las coordenadas de un vector que más bien tengo un vector en coordenadas estándar y quiero encontrar sus coordenadas respecto a la base b así que pulsar esta ecuación esta segunda ecuación y ésta para escribir esto es lo mismo que sea la menos 1 y en este caso el vector a es todo la matriz a por el vector x y que sea la menos 1 x por el vector x bien vamos progresando ahora yo quiero poner esto en términos de la base ve quiero agarrar el vector en coordenadas con respecto a la base ve y obtener su imagen en coordenadas con respecto a la base ve así que ahora lo que tengo es el vector x en coordenadas estándar y entonces si lo que quiero es ponerlo en términos del vector de coordenadas de el vector x en términos de la base ve posar ahora la primera ecuación y escribir sea la menos uno x y x es lo mismo que sé por el vector x el término de la base b respecto a la base vea y ahora simplemente asocio las matrices juntas de al menos 1 hora porsche multiplicada por el vector x en coordenadas respecto a la base d ahora el punto crítico aquí es que esto se vale para cualquier vector x así que lo que tiene que pasar que tiene que pasar es que de hecho de sea igual o sea la menos uno por a posee y tiene que ser igual a la matriz de cambio de base invertida al inverso de la matriz de cambio de base por la matriz a por la matriz c y esto es lo que realmente aprendimos el día de hoy me escribo todo esto para que sincero en una buena y ver qué es lo que está pasando vamos a decir si de es la matriz beatriz de la transformación formación respecto habíamos dicho que a era la matriz de la transformación t con respecto a la base estándar ahora lo que estamos buscando es la transformación la matriz de la transformación pero ya no en términos de la base estándar sino en términos de la base b así que de es la matriz de la transformación de respecto la base ve además tengo que si se es la matriz de cambio de base cambio base la base ahora que va a ser activa se quiero llegar a la base para ver y además lo último que voy a escribir es la matriz matriz de la transformación nación respecto a la base estándar esto en realidad ya lo tenía allá arriba pero es bueno repetirlo para que te quede todo junto respecto a la base base estándar entonces entonces d debe ser igual o sea la menos 1 la matriz inversa s multiplicada por la matriz a multiplicada por la matriz 6 de nuevo y esta es la fórmula que nos permite cambiar las matrices de las transformaciones entre base y base es decir si lo que tengo es una transformación y yo sé cómo se comporta respecto a la base estándar lo que conozco de su matriz respecto a la base estándar la noticia de la transformación respecto a la base estándar entonces puede escribir la matriz de la transformación respecto a cualquier otra base simplemente escriba una matriz de cambio de base que tiene por columnas a los vectores de la nueva base tiene por columnas a los vectores de la nueva base la invierto y sé que es invertible precisamente porque como esto es una base estos son linealmente independientes así que invierto esa matriz la multiplicó por la matriz original la matriz de la transformación t respecto a la base espalda y la vuelvo a multiplicar por la matriz de cardio de base y así puedo pasar de la matriz con respecto a la base estándar en la matriz de la transformación con respecto a cualquier otra base