Matriz de cambio de base

supongamos que tengo una base de de un sub espacio vectorial que tiene cada vectores de uno de dos hasta de acá entonces tengo esta base y supongamos también que tengo un vector a y que yo sé que a tiene ciertas coordenadas con respecto a b conozco las coordenadas de a respecto a b y estas coordenadas son segundos 2 y como tengo acá vectores en la base entonces voy a tener acá coordenadas entonces este vector las coordenadas de a continúan hasta una seca tengo acá coeficientes y lo que significa esto de acuerdo con nuestra definición de coordenadas respecto a una base esto significa que a tiene una representación como combinación lineal de elementos de la base cuyos coeficientes son precisamente los elementos del vector es decir se uno por b 1 más de 2 por fe 2 y así hasta seca seca por beca entonces tengo esta expresión para como una combinación final otro modo de escribir exactamente lo mismo otro modo de escribir esta combinación lineal es considerar una matriz cuyas columnas son los miembros de mi base es decir pensemos que tengo una matriz ce donde los vectores columnas son simplemente b1 b2 así hasta de acá ahora sí supongo que estos vectores son miembros de rn entonces cada vector tiene n coordenadas y esto es una matriz de l porque cada columna es un vector de n entradas y tengo k columnas así que ahí tengo esta matriz y para volver a escribir esta combinación lineal solo tengo que considerar el producto de la matriz c por el vector c1 c2 así hasta seca por el vector de coordenadas de a con respecto a la base b el resultado de este producto es precisamente el vector el vector en coordenadas a estándar así que estas dos expresiones son exactamente la misma si toma el producto de matrices obtengo segundo por b uno más de dos por b2c de 2 más de 3 x de 3 y así hasta seca por beca y eso me debe dar a obtengo la misma combinación lineal ahora bien si escribo esto de otro modo puede decir exactamente lo mismo pero lo voy a escribir de otro modo voy a escribir sé que es la matriz que tiene como columnas a los vectores de mi base por este vector que es el vector de las coordenadas de a respecto a la base de entonces ce por el vector de las coordenadas d respecto a la base de lo que nos da es sencillamente a es decir la representación de a en la base estándar de rn y bien porque me tomé la molestia de describir esto de tantos modos pues es porque ahora tengo una fórmula sencillita que me permite si me dan por ejemplo las coordenadas de un vector en términos de una base b puede encontrar fácilmente cuánto vale el vector a cuál es su representación en términos de la base estándar de rl simplemente tengo que multiplicar por la matriz c que tiene como columnas a los vectores de mi base y por el contrario si lo que tengo es el vector an y yo sé que se puede representar como una combinación lineal de los vectores de la base o sea que están en su espacio generado por esos vectores entonces puedo hacer un sistema de ecuaciones y puedo obtener las coordenadas de a en términos de la base de así que esta matriz lo que nos permite es cambiar de la base ve a la base estándar o viceversa simplemente al multiplicar por ella así que como esta matriz nos permite pasar de una base a otra es completamente natural llamarla la matriz de cambio de base matriz de cambio de base a pesar de que el nombre es muy rimbombante la matriz en sí es muy sencilla simplemente consiste en tomar los vectores de mi base como las columnas de la matriz bueno vamos a poner esto en práctica y vamos a hacer un ejemplo voy a trabajar con vectores en r3 voy a suponer que tengo un primer vector b 1 que es igual vector 1 2 3 y también voy a tener un vector b2 b2 b2 va a ser el 101 entonces digamos que tengo ve que es b1 b2 el conjunto es de 1 b 2 y como b1 b2 y les dejo de ejercicio que verifiquen que b1 y b2 no son múltiplos el uno del otro o sea son linealmente independientes por lo tanto b es la base de algún sub espacio vectorial así que tomemos un vector que se que esté en el sub espacio generado por b1 y b2 así que le pueda asignar coordenadas con respecto a esa base voy a decir que mi vector tiene coordenadas con respecto a b y digamos que estas coordenadas son 7 y menos 47 menos 4 y ahora la pregunta natural es cómo puede representar a con las coordenadas estándar con la base estándar de r3 quien es el vector a vaya pues podría simplemente decidir pues hay siete veces por ver uno más menos cuatro veces de dos y les daría el resultado correcto pero vamos a usar la matriz de cambio de base para que veamos cómo funciona nuestra matriz de cambio de base en este caso tiene como columnas de uno y de dos en otras palabras nuestra primera columna es el primer vector de nuestra base y la segunda columna es el segundo vector de la base de acuerdo con lo que hemos dicho si multiplico a la matriz de cambio de base por el vector de coordenadas debo recuperar el vector original director de coordenadas es 7 menos 4 y lo que voy a obtener es la representación de el vector a en las coordenadas estándar noten que esto es una matriz de 3 por 2 y esto es una matriz de 2 por 1 así que voy a obtener una matriz de 3 por 1 que tiene todo el sentido del mundo porque estamos trabajando con vectores en r3 así que a pertenece a r3 y requiere tres coordenadas para describir su posición en términos de la base de estándar la base estándar tr3 sólo tiene tres vectores quizás esto resulte un poco confuso a recibió dos coordenadas respecto a la base p porque estaba en el sub espacio generado por v1 y v2 mejor hago un dibujo de lo que está pasando supongamos que este es el sub espacio generado por b1 y b2 con el vector 0 en ese punto así que este es el sub espacio generado por b1 y b2 o dicho de otro modo este es el sub espacio de r3 que tiene por base a b ahora bien imaginemos que ve uno se ve algo así y que ve dos bueno aclaró no estoy siguiendo los números no se vayan con la finta esto no está escala supongamos que ve dos se ve algo así bien ahora como a esta en este sub espacio vectorial se puede representar como una combinación lineal de b1 y b2 de hecho a es siete veces cree uno 12 cuatro cinco seis siete veces ve uno - cuatro veces de dos entonces uno y 4 si lo trasladó para este punto uno dos tres cuatro así que mi vector está sobre este plano y se ve algo algo así está completamente dentro del plano amarillo algo que es importante es que está dentro del psuv espacio vectorial generado por b1 y b2 es más a es igual a 7 veces b1 menos 4 veces de 2 entonces al decir que a es miembro de este sub espacio vectorial solo requiere dos coordenadas para determinar su posición simplemente tengo que decir cómo me muevo en dirección b 1 y cómo me muevo en dirección de 2 ahora bien no debemos olvidar que este plan no está contenido en r3 está metida en el espacio entonces lo que quiero encontrar ahora son las coordenadas del vector a como miembro de r3 ya no como miembro de este plan no únicamente muy bien ahora usaré la fórmula para encontrar las coordenadas de a con respecto a la base estándar tr3 este producto de matrices equivale a 7 por 1 más menos 4 por 1 que es 32 por 714 más 0 por menos cuatro que es 14 y luego 3 por 7 más uno por menos 43 % 21 menos 417 así que a es igual al vector 14 17 y esta es la representación de a en coordenadas estándar supongamos que ahora quiero hacer lo contrario supongamos que ahora lo que me dan es un vector de en coordenadas estándar de r3 supongamos que d es el vector 88 menos 62 y supongamos que yo ya sé que de está en el sub espacio vectorial generado por b1 y b2 donde veo 1 y 2 son los mismos que antes así que de ésta en el generado de b1 y b2 eso de por sí ya nos dice que de se puede expresar como combinación lineal de b1 y b2 o lo que es lo mismo que de se puede representar con coordenadas con respecto a la base b donde les recuerdo que la base b es simplemente b1 y b2 ok ahora yo sé que si toma una matriz de cambio de base con una matriz de cambio base y la multiplicó por el vector que tiene las coordenadas de d con respecto a la base b o sea lo multiplicó por el vector de coordenadas de respecto a la base vea lo que obtengo es d en coordenadas estándar así que yo sé que dadas las coordenadas desde con respecto a la base b puedo encontrar las coordenadas de d en la base estándar en este caso lo que tengo es las coordenadas estándar desde y sé cuál es mi matriz de cambio de base así que para encontrar las coordenadas de d con respecto a la base b tengo que resolver este sistema mi matriz de cambio el base de 9 11 20 31 y la tengo que multiplicar por el vector de coordenadas de d con respecto a la base b que es lo que estoy buscando lo voy a poner aquí en amarillo ahora como tengo dos miembros de la base de un nivel 2 tengo dos coordenadas c1 c2 que son las que estoy buscando además tienen que ser dos porque el producto de esta matriz por un vector como la matriz es de 3 por 2 tiene que ser por un vector de dos dimensiones y esto debe ser igual y b es el vector 862 así que si encuentro a c1 y c2 automáticamente automáticamente encuentro las coordenadas de d con respecto a la base b así que vamos a resolver este sistema de ecuaciones y para hacerlo voy a tomarme una matriz aumentada que es como siempre resuelvo los sistemas de ecuaciones me tomo la matriz 1 1 2 0 3 1 que es nuestra matriz de cambio de base y el aumento con el vector de 8 menos 6 2 ahora voy a hacer operaciones elementales en los renglones para poder llevar esto a una matriz escalonada así que voy a tomar en este caso el primer renglón se queda igual y cambió mi segundo renglón por dos veces el primero menos el segundo así que tengo dos por uno menos 20 2 por 1 es 2 - 0 es 2 2 por 8 el 16 6 y el 10 y ahora voy a cambiar el tercer renglón por tres veces el primero menos el tercero tres por uno es 3 - 13 03 por unos 312 y luego 3 por 824 3 por 8 24 - 2 22 21 2 aquí ya me doy cuenta que cometió un error porque lo que me dice el segundo renglón y lo que me dice el tercer renglón son cosas incompatibles así que vamos a checar mis cuentas mi segundo renglón era mi dos veces mi primer renglón menos el segundo así que tengo 2 - 2 que 0 2 por 1 2 - 0 esto 2 a 2 por 8 16 - menos seis es 22 allí estaba mi error se me olvidó un signo ahora lo que voy a hacer es voy a cambiar mi tercer renglón por el tercer renglón menos el segundo renglón todo lo de arriba así que igual 11 8 02 22 y ahora el tercer renglón va a ser el tercer renglón menos el segundo renglón así que 000 ahora voy a dividir el segundo renglón entre 2 esto hace que igual 118 y esto se convierte en 0 1 11 luego el tercer renglón es simplemente cero cero cero ahora le voy a restar al primer renglón el segundo el segundo se queda igual 01 11 y al primero le restó el segundo 1 - 0 1 1 - 10 y 8 menos 11 es menos 3 y este renglón se queda igual con puros ceros entonces ya tenemos esto en su forma reducida entonces puedo escribir esto como la matriz 100 100 multiplicada por c1 y c2 a c1 c2 es igual a menos 3 11 0 entonces si hago el producto de matrices 1 por 10 por cerdos f1 debe ser igual a la primera entrada de mi vector de la derecha que es menos 3 luego la segunda entrada sería cero por segundo más uno por dos estados y debe ser igual a la segunda entrada del lado derecho que es 11 entonces nuestra solución a esta ecuación es simplemente menos 311 o dicho de otro modo las coordenadas de d con respecto a la base b son menos 311 déjenme lo noto aquí abajito el vector de escrito en coordenadas con respecto a la base d es igual a menos 311 esto por definición quiere decir esto quiere decir que b es igual a menos tres veces de uno más once veces de dos y les dejo esto como ejercicio que verifiquen que esto es cierto así que la moraleja del cuento es que la matriz de cambio de base nos sirve para pasar de una representación de un vector en coordenadas respecto una base a la base en la representación del vector en la base estándar o si nos dan las representaciones en la base standard con un poco más de trabajo podemos obtener las coordenadas con respecto a una base