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Transcripción del video

imaginemos que tengo un su espacio de rn digamos b es un suv espacio su espacio de r n y también supongamos que tenga una base b digamos que ve es una base para v entonces tiene un montón de factores aquí de 12 hasta de caja seca ahora como tengo acá vectores en la base entonces v es un su espacio de dimensión acá pase de inversión ca y ahora como ves base eso significa que cualquier lector a que éste en su espacio de se puede expresar como una combinación lineal de vectores de la base es decir a es igual a una constante por mi primer vector de la base más otra constante por mi segundo vector de la base y así hasta una cae encima constante por el cabecismo sector del envase ahora bien muchas veces se usa la palabra coordenada en el pasado pero ahora voy a dar una definición precisa para hacerlo me voy a fijar en los coeficientes en estos coeficientes de la combinación ideal de elementos de la base que me del vector acá y voy a llamar a c1 c2 hasta seca los voy a llamar a tomar color las coordenadas coordenadas de mi vector a a con respecto a la base con respecto a mi base de entonces con respecto a b y cuando quiera decir que voy a escribir un vector a partir de sus coordenadas entonces lo que voy a hacer es escribir director a y para enfatizar el hecho de que las coordenadas están relacionadas con la fase b lo que hago es encierro director a en paréntesis cuadrados pongo mi conjunto base aquí el conjunto b y escribir escribo precisamente los coeficientes de la combinación lineal en orden recuerden que de eso una base ordenada entonces pongo los coeficientes de la combinación lineal en orden c1 c2 hasta ceca ahora algo que resulta bastante interesante aquí algo que es muy interesante es que de eso en su espacio de rené entonces cualquier factor que estén fe también están rcn pero ve es una base que sólo consisten cada elementos ahora si acá es menor a n entonces digamos por ejemplo podría ser de podría ser un plano en el retr es entonces velaba se ve sólo tendrá dos vectores y para especificar algo que está nuestro su espacio sólo necesito usar k coordenadas o sea no importa que a sea un miembro de rené para explicarlo dentro del psuv espacio sólo necesitó dar acá posiciones distintas digamos que le estoy dando posiciones dentro del su espacio entonces no importa que sean menos bueno quizás esto se aclare un poco más con un ejemplo así que vamos a bajar acá vamos a bajarnos un poco imaginemos que tengo dos vectores en derredor de uno que va a ser mi vector 21 y digamos que también tengo bedous que va a ser el vector 12 112 nos pongan las ruedas para que sean fáciles de visualizar y algo que puede resultar una evidente es que veo uno de dos conjunto b que contiene a de un novedoso es una base una base para r 2 y esto significa que cualquier vector que estén alrededor se puede representar como una combinación niña debe uno y de dos otra cosa que podemos observar es que r2 tiene dimensión 2 y la base de un novedoso contiene dos elementos que son linealmente independientes para ver qué b1 finalmente independientes como la matriz 21 12 y mediante transformaciones elementales la convierta en la matriz identidad 1001 eso automáticamente me dice que los vectores b1 y b2 son linealmente independientes y como son dos forman una base para el re dos vamos a también hacer una gráfica vamos a visualizar cómo se ven estos vectores en el plano así que voy a tomar mis dos ejes puede tomar primero y luego en otro color que compraste más voy a tomar primero ni eje vertical y vertical y también voy a tomar mi eje horizontal bien entonces el b1 el 2 192 unidades a la derecha y una para arriba así que están más o menos ahí es mi director de uno así que ese es mi b1 ahora mil b2b algo así 12 así que una unidad a la derecha y tuvo dos unidades y el vector más o menos está por ahí ok entonces para ejemplificar esto de las coordenadas voy a tomarme un tercer vector y voy a darlo como una combinación final de de uno y de dos para hacer las cosas más sencillas de gm a tomar por ejemplo el vector que sea tres veces b 13 veces de uno más dos veces dos veces de dos bien y que vectores éste pues tengo que hacer esta operación tres veces por b 13 por dos más dos veces por la primera condena de 23 3 por 2 más 2 x 1 que es 8 luego tres veces por uno más dos veces por dos o sea 3 +43 +4 es 7 así que tengo el vector 87 y dónde está este vector en el plano que posición me termina pues me muevo ocho unidades a la derecha más a la derecha y luego tengo que subir siete unidades así que más o menos tendría una flecha del origen a este otro modo decirlo es que el vector específica este punto el punto que si hablamos de las coordenadas viejitas las que siempre usamos es el punto 8,7 y si quisiera dibujar el vector como ya dije es una flecha que va del origen a este punto ahora bien yo ya tengo toda la fase b de la fase b que consiste en el vector b1 y b2 así que la pregunta es cómo le hago para expresar al vector 87 en términos de esta base digamos que llamó este sector el vector a entonces tengo que el rector a es el vector 87 entonces yo ya sé qué combinación lineal de la base me da el vector a es simplemente la combinación que es tres veces b1 b6 b12 y eso me da el 87 en otras palabras si quisiera escribir el vector a concord henar respecto a la base b que voy a poner también aquí en azul con el vector a con respecto a la base b es igual a los coeficientes de la combinación lineal en orden así que 32 bien un argumento visual que apoya esta definición es el siguiente imagínense que tenemos un nuevo sistema coordinado antes en las coordenadas viejitas lo que teníamos eran direcciones horizontales y verticales y tenemos marcas de unidad en cada eje entonces teníamos dos direcciones y mediamos ciertas longitudes ahora lo que tenemos son dos nuevos vectores y las coordenadas lo que me dicen son múltiplos de cada vector de la base por ejemplo la primera coordenadas son múltiples de b1 a ello tengo una vez porque uno sino dos veces b1 llegaría al 42 que estaría más o menos por ahí tres veces por b1 sería el 63 que sería me pongo marcas en los ejes 4 6 y 8 entonces el 63 estaría más o menos por ahí eso es tres veces b1 cuatro veces de uno nos llevaría al 84 y creo que ya se están dando la idea de lo que pasa lo que podemos imaginar es que en chocamos uno de los ejes como si el eje horizontal lo hubiéramos movido y tuviéramos un eje generado por la dirección de uno entonces más o menos tenemos un eje que se va por ahí y continuar el otro lado y la coordenada lo que me dices cuantos múltiplos de b1 debemos recorrer entonces simplemente son las marcas son incrementos de unidad de longitud de 1 y dirección de uno obviamente ahora la segunda coordenada lo que me dice es cómo moverme respecto a b2 entonces aquí tengo una vez por b 2 2 veces de 12 ya por ahí tres veces de dos años más o menos por ahí y etcétera entonces de nuevo puedo considerar una especie de eje generado por dedos o key entonces la idea es que más o menos tengo esta cuadrícula entre cada y de nuevo tengo una especie de líneas guías como en una película normal entonces las coordenadas me dicen cómo moverme para que combinando los movimientos en dirección b1 y en dirección b2 llegar a mi punto original si ponemos estas niñas días dejé me pongo estas líneas guías que en este caso estas amarillas son paralelas al sector b 2 son más o menos por ahí tratar de que salga bien para que puedan entender el concepto fácilmente pero a ésta quizás debí de haber usado la herramienta en línea recta muy tarde entonces aquí es lo que estoy haciendo es como una especie de de papel para graficar son líneas guías para poder determinar fácilmente posiciones ok entonces tengo esta especie cuadrícula chueca y lo que tengo son coordenadas respecto a esta nueva cuadrícula y que tiene esto que ver con las coordenadas pues la primera nada me dice cómo moverme dirección de um así que tengo una 223 me muevo tres unidades en dirección de uno y luego tengo que moverme 2 en dirección veloz así que 12 y si conecta a esas líneas guías llegó exactamente el punto 8 7 en el plano lo que hice fue moverme tres unidades 3 múltiples debe 1 en dirección de uno y luego sumar 2 múltiplos de b2 en realidad también me podría haber movido 2 unidades en dirección b2 y luego tres unidades en dirección de uno así que bueno el vector 87 se expresa en nuestro nuevo sistema coordinado con las coordenadas 32 esto quiere decir que es tres veces ve uno más dos veces de dos simplemente quiere decir que para llegar al 87 tengo que moverme tres veces en dirección de uno y dos veces en dirección de dos y por eso ésta se llaman coordenadas porque me dicen dónde es la posición de un punto en relación con dos vectores guías digamos los generadores me dicen cómo moverme para poder llegar al punto que tenía ahora una buena pregunta es por qué estaba hablando de coordenadas de antes por ejemplo cuando teníamos el plano y teníamos digamos un vector que va a ser b no sé 3 digamos de 23 - 1 es un vector y xilográfica moss xilográfica moss tenemos aquí están mis ejes un poco lento dibujando ejes 1 2 3 y luego bajó entonces se vería algo así en mi lector y especifique este punto ahora porque está diciendo que este punto tiene coordenadas tres como -1 cómo se relaciona esto con la definición de coordenadas que acabamos de edad porque esto lo he hecho desde antes de hacer algo fuera niña no entonces como relacionó esta definición viejita de puntos en el plano con esto definición de coordenadas de vectores respecto a una base pues resulta que estos sí son coordenadas con respecto a una base es una base especial consideran los vectores eeuu no como el 10 y el 12 como 0 1 entonces resulta que estos vectores son realmente independientes y de hecho si dijera sea ese el conjunto de eeuu no 22 entonces ese es es la llamada base estándar base estándar para el re dos dedos y esto se llama base estándar porque estos 24 son ortogonales y es uno la dirección horizontal y uno en la dirección vertical entonces cualquier vector cualquier factor en el plano digamos un vector ekije se puede expresar como combinación lineal de 1 y el 2 simplemente es x por eeuu no más gge x 2 y los invitó a verificar esto es una cuenta muy sencilla entonces qué pasa si quisiera escribir el vector ekije en coordenadas con respecto a la base estándar entonces lo encierren paréntesis cuadrados pongo la base stand up y qué coordenadas tiene pues son los coeficientes de esta combinación lineal y cuáles son esos coeficientes en orden pues precisamente el coeficiente de mi primer básico es x y el coeficiente mi segundo básico elche así que las coordenadas del vector xd respecto a la base estándar son xd entonces realmente las coordenadas que vemos usado antes son un caso particular de las de ahora simplemente son coordenadas coordenadas con respecto a la base estándar pr2 que simplemente la base que les puse por allá en la base conformada por los vectores en 1 y el 2 podríamos decir que éstas son las coordenadas están condenadas estándar y sólo quería enseñarles cómo las coordenadas que habíamos estado usando las coordenadas que hablamos de puntos en el plano no es una definición inconsistente con las coordenadas vistas como coeficientes en una combinación mundial simplemente eran el caso particular en el que la base la base que tomábamos era la base estándar de retos