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Transcripción del video

hace un par de vídeos encontramos los valores propios de una matriz de 2 por 2 de una matriz de 2 por 2 ahora quiero hacer lo mismo pero con una matriz de 3 por 3 con esta matriz de aquí y espero que se den cuenta que a pesar de que la matemática se va a poner un poco más pesada o un poco más enredos a la idea que vamos a usar es exactamente la misma así que bueno repasando un poco tenemos que el lambda es uno valor propio de una matriz a lambda es un valor propio de a sí solo sí sí solo si existe un vector distinto de 0 tal que a por b es igual a lambda por el vector b esto es para algún vector de distinto de el vector muy bien ahora esto pasa si solo sí lo que voy a hacer es restar ave de ambos lados y entonces esto se convierte en vector 0 es igual a lambda por b pero b es lo mismo que la identidad por b así que voy a poner aquí la matriz identidad por el vector de menos por el vector de y esto es para alguna vez distinta de cero bueno pues como los productos de matrices y vectores tienen la propiedad distributiva esto lo puede escribir como el vector 0 es igual a lambda por la identidad menos todo eso por el vector b y esta vez de nuevo es distinta de cero estoy haciendo estos repasos para que entiendan bien de dónde salen las fórmulas no me interesa que sólo se aprendan la fórmula sino el proceso lógico que nos llevó a la fórmula ok déjenme voy a escribir esta parte de aquí la voy a volver a escribir y entonces tengo tengo la matriz lambda por la identidad menos a por el vector b es igual al vector 0 y esta vez es distinta de 0 es distinta el vector 0 así que en otras palabras lo que estoy diciendo es que el espacio el espacio nulo o la nulidad de esta matriz de esta matriz y aquí todo esto es una matriz es no trivial o dicho de otro modo sus columnas son linealmente dependientes o incluso dicho de otro modo significa que la matriz no es invertirle y eso pasa eso pasa si y sólo si el determinante de esa matriz es 0 así que en otras palabras lambda es un valor propio de la matriz a si y sólo si el determinante el determinante d lambda por la identidad menos es igual a cero ahora vamos a usar esto para encontrar los valores propios de esta matriz de aquí muy bien entonces lo primero que tengo que hacer es encontrar la matriz lambda por la identidad como la matriz a es de 3 por 3 tengo que usar la identidad de 3 x 3 ahora la matriz identidad es la matriz que tiene unos en la diagonal y 0 en todos otros lados entonces lambda por esa matriz simplemente sería la matriz lambda 000 lambda 0 y 0 0 lambda la matriz que sólo tiene al lambda en la diagonal y hacer en todos otros lados ok ahora quiero encontrar el determinante determinante de la matriz lambda por la identidad menos a y eso es lo mismo que encontrar el determinante de la matriz quién qué matriz de gemelos y lambda menos 1 lambda menos -1 es lambda más uno damas 1 luego 0 - 2 - 2 0 - 2 de nuevo es menos 2 0 - 2 - 2 lambda menos 2 lambda menos dos es la menos dos 0 - 1 es uno positivo 0 - 2 es menos 20 menos menos 1 es uno positivo y finalmente lambda menos 2 es dando menos 2 ok entonces quiero encontrar el determinante de esta matriz y la forma más fácil de encontrar el determinante de una matriz de 3 por 3 al menos la que se me ocurre ahorita es utilizar la regla desarrollo quizás también se podría hacer por menores vamos a usar las regresarnos nosotros entonces lo que hago déjenme copio estas dos columnas por dos columnas las copió y las colocó aquí al lado entonces las reglas de salud me dice que para encontrar el determinante lo que tengo que hacer es tomar las diagonales que van descendentes así decirlo- y tomarlas con signo positivo así que como en todos estos elementos los multiplico y les pongo signo positivo tomó estos elementos los multiplicó y les pongo signo positivo tomo estos elementos los multiplicó y les pongo signo positivo y luego tomo las diagonales descendentes y les pongo signo negativo es decir tomo estos elementos los multiplicó les pongo signo negativo como estos elementos los multiplicó y les pongo signo negativo y tomo estos elementos los multiplicó y les pongo signo negativo ok entonces vamos a hacer los positivos primero sería lambda más 1 portland a menos 2 portland a menos 2 eso sencillamente lo voy a escribir como lo que es la onda más uno por la banda menos dos por lambda menos dos eso es con signo positivo menos dos por uno por menos dos es cuatro positivo y tiene más entonces más 4 - 2 x menos dos es cuatro positivo por unos cuatro y de nuevo con signo + + 4 ahora bien los que voy a restar menos 2 x menos dos es cuatro positivo por landa menos dos así que menos cuatro por lambda menos dos recuerden que aquí les tengo que poner el signo negativo lambda más uno por uno por uno eso es simplemente lambda me lambda más uno pero con el signo menos es menos lambda más uno y ahora menos 2 x menos dos que es 4 positivo por la onda menos 2 con signo menos -4 por lambda menos 2 y ahora tengo que reducir tengo que reducir todo esto y lo escribo así vamos a expandir primero todo esto este primer caso en este caso aquí es lo mismo que la mandamás 1 portland a menos 2 portland o al menos dos pero eso es lambda al cuadrado menos 4 holanda más 4 simplemente haciendo todo este producto cuatro y cuatro pues ese es ocho ya lo pongo de una vez ahora esto menos cuatro por lambda menos dos es menos 4 lambda más 8 - lambda + 1 entonces me menos lambda menos 1 el signo menos afecta es de más menos 4 por lambda es menos 4 lambda menos 4 x menos 238 ok ahora esta parte de aquí primero multiplico todo por lambda y obtengo lambda al cubo menos cuatro lambda cuadrado + 4 holanda 4 lambda más ahora es uno por esto que sería blando al cuadrado menos 4 holanda más 4 y aquí tengo el 8 este 8 luego de que me voy reduciendo es lo que tengo acá menos 4 lambda menos lambda menos 4 lambda es menos nueve lambda 9 en la vida 8 - 178 es 15 ya puede reducir todo este polinomio y simplemente nos otro color esto se convierte en lambda el cubo menos 4 lambda - 4 holanda cuadrado más grande cuadrado se vuelve menos 3 blanda cuadrado + 4 holanda menos 4 holanda y 0 pero acá tengo menos 9 lambda de los 9 lambda que me queda me falta el término en el término independiente 4 y 8 es 4 y 8 12 + 15 es 27 más 27 así que este es el determinante de esa matriz y habíamos llamado a eso el polinomio característico de la matriz lambda es esto el determinante de esta matriz se llama el polinomio característico y para que sea un valor propio lambda tiene que ser tal que esto sea igual a cero ok entonces tengo que el polinomio característico tiene grado 3 para encontrar sus países los números lambda que hagan que esto sea 0 pues existe una fórmula existe una fórmula que es el análogo a la fórmula cuadrática se llama la fórmula de carga no pero es algo complicada entonces como estamos trabajando con un problema de una clase de álgebra vamos a irnos con la esperanza de y las raíces sean números enteros o al menos racionales como el coeficiente de aquí como el coeficiente principal el coeficiente del grado más alto es 1 entonces las raíces si llegan a ser raíces enteras tienen que ser divisores de 27 ahora cuáles son los divisores de 27 divisores de 27 pues son 13 9 y 27 y obviamente con signo contrario menos 1 - 3 - 9 27 vamos a probar con 1 vamos a probar primero con el número uno si sustituyó por uno aquí obtengo 1 - 3 - 9 + 27 y bueno ustedes pueden checar esto es distinto de 0 así que uno no es una raíz que hay de 3 try de 3 pues si sustituyó aquí por 3 obtengo 3 al cubo que es 27 menos 3 por 9 de nuevos 27 menos 9 por 3 que otras veces 27 más 27 y esto sí es así que no es perdón así que 33 si es una raíz de este polinomio es raíz muy bien si 13 raíz eso significa recuerden que lambda menos 3 divide a este polinomio y entonces puedo hacer la división puedo hacer esta división de el polinomio holanda al cubo menos 3 landa cuadrado menos nueve lambda más 27 entre lambda menos 3 y cuánto me da eso cuánto me va a dar eso andaba el hambre al cubo lambda cuadrado veces así que tengo esto ahora multiplicó y obtengo blanda al cubo blando al cuadrado por menos 3 es menos 3 lambda cuadrado ok tengo que hacer esta resta éste polinomio menos este esto se cancela y me queda menos 9 blanda más 27 -9 lambda 27 cuántas veces balanda en -9 lambda pues simplemente va menos nueve veces así que menos nueve por lambda es menos 9 lambda menos 9 por menos 3 es 27 positivo y ahora restó estos dos y me deja residuo cero como ya esperábamos ok entonces entonces ahora puede escribir que mi polinomio característico binomio característico que era este polinomio de aquí es igual a lambda menos 3 por lambda al cuadrado menos 9 ahora bien lambda al cuadrado menos 9 no puedo factorizar como el mismo color esto es lo mismo que lambda menos 3 y esto es una diferencia de cuadrados este término es una diferencia cuadrados así que lo voy a escribir como lambda menos 3 por lambda más 3 y de aquí de aquí concluyó que las raíces de mi polinomio son lambda igual a menos 3 que sería la raíz de este factor lambda igual a 3 noten que esto es una raíz raíz repetida y bueno con esto ya tengo los valores propios de mi matriz a los valores propios valores propios valores propios son - 3 y 3 y en el siguiente vídeo vamos a calcular los vectores propios que le corresponden a esta matriz