Valores propios y espacios propios de una matriz 3x3

en el vídeo pasado encontramos los valores propios de esta matriz a de esta matriz de 3 por 3 de aquí y lo que hicimos más o menos para repasar un poco fue decir a un valor lambda es un valor propio si y sólo si satisface esta ecuación de aquí para algún vector b distinto del vector 0 es decir si sólo si a por el vector b es igual a lambda por el vector de y esto pasaba usando un poco de álgebra de vectores sí solo si esta ecuación de aquí se satisfacía sí solo si lambda por la matriz identidad menos a que todo eso era una matriz de hecho vimos que era esta matriz de aquí abajo todo eso multiplicado por algún vector b distinto es 0 era igual al vector 0 así que con eso concluimos que para que existiera un valor propio y un vector propio era necesario que el determinante de esta matriz fuera 0 eso nos llevó al polinomio característico de la matriz a que es precisamente el determinante de esta matriz raíces de ese polinomio de ese polinomio eran precisamente los valores propios de la matriz a así que concluimos que los valores propios de a tenían que ser lambda igual a 3 lambda igual a menos 3 ahora viene la parte interesante porque ahora tenemos que encontrar los espacios propios que corresponden a estos valores ahora voy a encontrar los vectores propios de la matriz a ok hagamos primero el caso hagamos primero el caso en el que el valor propio estrés así que vamos a hacer primero y el caso lambda igual a 3 vamos a encontrar todos los valores propios correspondientes perdón todos los vectores propios correspondientes al valor propio 3 y bueno yo sé que estos vectores propios son precisamente los que resuelven esta ecuación para lambda igual a 3 así que lo primero que tengo que hacer es encontrar los vectores tales que la matriz 3 x la identidad menos a por el vector b sea igual al vector 0 3 por la identidad menos a pues simplemente sustituyó aquí por lambda igual a 3 y obtengo 4 que sería la más 131 es 4 - 2 - 2 todo lo que está fuera la diagonal se queda igual - 23 menos 2 es 1 uno acá también menos 2 1 32 es uno de nuevo entonces estoy buscando todos los vectores b tales que su producto con esta matriz me da el vector eso es precisamente el espacio nulo de esta matriz entonces lo que puedo hacer es encontrar el espacio nulo de su forma escalonada reducida porque es exactamente el mismo entonces vamos a llevar esta matriz a su forma escalonada reducida voy a dejar el primer renglón como esta 4 - 2 - 2 y voy a cambiar el segundo renglón por dos veces al segundo más el primero entonces dos por menos dos es menos 44 es 0 2 por unas 2 - 2 es 0 2 por 12 más menos 2 es cero y voy a hacer lo mismo el tercer renglón lo voy a cambiar por dos veces el tercero más el primero y eso me da cero de nuevo 0 0 bien entonces estoy buscando los vectores los vectores bay que voy a escribir como b1 b2 b3 tales que multiplicados por esta matriz me den el vector 0 0 ok esto no está en forma escalonada reducida perfectamente pero con esto ya puedo trabajar esta matriz por este vector su primera entrada sería 4 x de 1 - 2 x de 2 - 2 por b 3 es igual a 0 y entonces de aquí puedo dividir todo esto entre cuatro y escribirlo como b1 menos un medio de b2 - un medio de uve 3 es igual a 0 o lo que es lo mismo lo que es lo mismo de uno es igual a un medio de v2 más un medio de de 3 ok si ahora digo si b 2 es igual algún número algún número a ib3 es igual algún número de entonces entonces el espacio propio el espacio propio correspondiente al anbaa igual a 3 el espacio de vectores el conjunto de vectores que tienen por valor propio a 3 es igual al conjunto de vectores b1 b2 b3 que tienen la forma vamos a describirlo así por algún vector más de por algún sector en el primer vector la segunda entrada es a así que puedo ponerlo como 1 por y dejar la tercera entrada que es b que no tiene nada que ver con nada como 0 para este ahora la b 2 no tiene nada que ver con nada así que lo pongo como 0 y escribo 1 acá uno por vez b que es de 3 y veo no es un medio debe 2 más un medio debe 3 así que es un medio de a más un medio de b donde a y b son números reales bien así que este es el espacio propio correspondiente al valor 3 si multiplico cualquier vector de este conjunto por la matriz el resultado es tres veces el vector original y esto también lo puede escribir de la siguiente forma puede decir que el espacio propio correspondiente al valor propio 3 es sencillamente el sub espacio vectorial generado por los vectores estos dos un medio 10 un medio 0 1 todas las combinaciones lineales de estos dos vectores forman parte del espacio propio correspondiente al valor propio 3 ahora tengo que calcular los vectores propios con valor propio menos 3 sale pues aquí ya no tengo espacio a trabajar ya no tengo espacio libre así que me voy a llevar esto para abajo pego o aquí y aquí vamos a trabajar así que bien ahora vamos a hacer el caso el caso en el que el valor propio es menos 3 y entonces la matriz que tenemos que considerar para resolver esta ecuación es esta matriz pero con landa igual a menos 3 o sea sustituir en esta matriz lambda igual a menos 3 si hago esta sustitución obtengo - tres más uno es menos 2 todo lo que está fuera de la diagonal sé que al menos 2 - 2 en los dos menos 211 este valor es menos 3 - 2 es menos cinco y menos tres menos dos es menos 5 perfecto ok entonces quiero encontrar quiero encontrar los vectores de tales que el producto de esta matriz por el vector b sea igual al vector 0 eso es precisamente la ecuación que tengo que resolver esta de aquí para encontrar los vectores propios entonces esto es lo mismo que encontrar de nuevo el espacio nulo de esta matriz así que igual a como lo hicimos en el caso anterior vamos a escalonar esta matriz vamos a llevarla a su forma escalonada reducida y entonces como el primer renglón son puro 12 es lo que voy a hacer es primero que nada dividir todo el primer renglón por menos 2 entonces obtengo 1 voy a cambiar el segundo renglón por el segundo renglón menos el primer renglón entonces obtengo menos dos menos 20 5 - 2 es menos 31 - menos dos son los más dos que es 3 ahora el tercer renglón lo voy a cambiar por el tercer renglón menos el primer renglón entonces menos 2 menos -2 es menos dos más dos que es 01 - menos dos es uno más dos que es tres y menos cinco menos -2 es menos 3 perfecto ok ahora lo que voy a hacer vamos a dejar el primer renglón tal y como está vamos a dejar esto como 111 y ahora voy a cambiar el segundo renglón por el segundo renglón entre menos 30 entre menos 30 menos 3 entre menos 31 y 13 entre menos 3 es menos 1 ahora voy a sumarle al tercer renglón le voy a sumar el segundo renglón 00 es 0 3 más menos 30 y menos 33 es cero o que ya casi acabamos ahora lo único que voy a hacer lo único que voy a hacer es sumarle el segundo renglón más bien lo único que voy a hacer es restarle el segundo renglón al primero 10 es 11 10 y 1 - menos uno es 2 el segundo renglón se queda igual 0 1 - 1 y entonces el renglón también 000 así que esa es mi matriz en forma escalonada reducida y lo que quiero hacer es encontrar los ves los sectores ve que puede escribir como los vectores de 1 de 2 de tres tales que esta matriz por este vector me dé el vector cero es decir 0 0 0 ok si yo hago este producto de matriz por vector la primera entrada sería 1 por b 10 por b dos más dos por tres y eso tiene que ser igual a cero así que de uno de uno más dos veces de tres es igual a cero y la segunda entrada sería cero por de uno más uno por b2 b3 es igual a cero es decir de dos menos de tres es igual a cero si ahora yo digo si ve 3 es igual algún parámetro t entonces entonces qué me dicen estas ecuaciones pues ve uno b1 b2 b3 es igual a cero así que si restó dos veces ve tres de ambos lados tengo que ver uno es igual a menos dos veces de tres por lo que es lo mismo de uno es igual a menos dos te recuerden que b 3 es igual a t esta ecuación si le sube 3 de ambos lados se convierte en b 2 es igual a b3 así que de 2 es igual a t bien y esto que nos dice pues nos dice que estos vectores estos vectores b1 b2 b3 los puedo escribir como - 2 t para algún número real t bien vamos a escribir esto formalmente y la forma de hacerlo es decir que el espacio propio correspondiente al valor propio menos 3 es el conjunto de vectores es el conjunto de vectores b1 b2 b3 que tienen que formar pues si de aquí factor hizo la te puede escribir esto como todos los vectores que son de la forma de veces el vector menos 2 donde te es un número real o dicho de otro modo el espacio propio correspondiente al valor propio nanda igual a menos 3 es igual al sub espacio vectorial generado por el vector menos 211 porque este sub espacio serían simplemente todos los múltiplos escalares de este vector que es este conjunto otra cosa interesante y para lo cual voy a copiar este sub espacio voy a copiar este espacio propio el espacio propio correspondiente al valor propio 3 voy a traer acá abajo es que estos dos espacios son ortogonales si se fijan este vector es portugal a estos dos vectores si toman su producto interior con cualquiera de estos dos vectores les dará 0 bien ahora vamos a hacer una gráfica vamos a hacer una gráfica para ver qué significa hoy como se ve todo esto que nos está haciendo recapitulando brevemente nuestra transformación de que valía multiplicar por la matriz a que tenía por valores propios a menos 3 y a 3 y estos eran sus espacios propios correspondientes el espacio propio correspondiente al valor propio 3 es un plano en r3 porque está generado por estos dos vectores digamos que esos dos vectores se ven algo así esos dos vectores de allí y esto es el espacio propio correspondiente al valor propio 3 por otra parte el espacio propio correspondiente al valor propio menos 3 es una recta porque está generado por un solo vector que es ortogonal al plano 3 esto sería -3 y este sería el vector que lo genera entonces si yo tengo un vector x en este plano en este espacio propio de tres digamos el vector x la transformación lo que hace es lo multiplica por tres es un vector que tiene la misma dirección y el mismo sentido pero tres veces la longitud 100 si ahora éste fuera el vector x entonces la transformación lo mandaría a digamos ese vector bien entonces si ahora me tomo un vector x que está en el espacio propio correspondiente a menos 3 m3 entonces la transformación lo que le haría sería cambiarle el sentido ahora iría hacia abajo y multiplicarlo por 3 así que tendría tres veces la longitud y en sentido contrario esto sería a por equis y con esto ya encontramos todos los vectores propios agrupados en dos espacios propios correspondientes a dos valores propios son una infinidad de vectores propios en estos dos sub espacios y esto ya es un gran logro porque ahora lo hicimos con una matriz de 3 3