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Ejemplo de cómo obtener los valores propios de una matriz de 2x2

Transcripción del video

en el último vídeo vimos que el hecho de que exista una solución para esta ecuación para alguna escala blanda y algún vector ve distinto de cero es equivalente al hecho de que la matriz lambda por la identidad menos a tenga determinante igual a cero o dicho de otro modo lambda es un valor propio un valor propio de la matriz a si y sólo si sí y sólo sí el determinante de lambda por la identidad menos a es igual a cero en este vídeo vamos a aprender cómo podemos utilizar esta información para obtener un valor concreto un valor específico para el valor propio lambda vamos a hacer un ejemplo de una matriz de 2 x 2 digamos que la matriz a es igual a la matriz 1 243 muy bien y quiero encontrar los valores propios de a así que sí lambda es un valor propio de la matriz a un valor propio de la matriz a entonces es necesario que lambda satisfaga que el determinante de la matriz lambda por la identidad en este caso de 2 por 2 100 1 lambda por la identidad menos la matriz a en este caso es la 1 243 esto debe ser igual a 0 y esto aquí es igual pues esto es lo mismo que el determinante de lambda por la identidad es blanda por 1 holanda por una es lambda blanda por 0 0 blando por 0 0 irlanda por 1 es lambda y ahora le restó la matriz a es decir le restó la matriz 1 243 y esto debe de ser igual a 0 ahora bien esta diferencia de matrices se reduce a el determinante de la matriz lambda menos 1 donde menos 10 menos 2 que es menos 2 20 - 4 que sería menos 4 y luego lambda menos 3 lambda menos 3 esta matriz simplemente es el resultado de hacer toda la simplificación la simplificación de la matriz lambda por la identidad menos la matriz a recuerden que la matriz identidad la tengo que tomar de la misma dimensión que la matriz a así que esto es simplemente esta expresión y cuál es el determinante de esta matriz pues es el producto de estos 2 - el producto de los otros dos así que es lambda menos uno por lambda menos 3 1 - 3 - el producto de menos 4 x menos 2 menos 4 x menos dos es 8 positivo así que menos 8 y esto es el determinante de la matriz lambda por la identidad plaza se simplifica y se reduce a esta matriz esto debe ser cero para que lambda sea un valor propio así que tengo esta ecuación en lambda y sus soluciones son precisamente los valores propios valores propios lambda que hacen que el espacio nulo de la matriz lambda por la identidad menos a sea no trivial bien pues ahora sólo tengo que encontrar las raíces de este polinomio en landa si lo expandimos obtengo lambda al cuadrado menos 3 lambda menos 3 lambda menos lambda + 3 menos 8 y eso debe ser igual a 0 o lo que es lo mismo lambda cuadrado menos al cuadrado menos 4 lambda + 3 menos 8 sean menos 5 menos 5 y todo eso debe ser igual a 0 muy bien ahora sólo resta encontrar las raíces de este polinomio cuadrática vale la pena mencionar que la expresión que está del lado izquierdo de esta igualdad se conoce como el polinomio característico de la 3a el polinomio característico de y si quiero encontrar los valores propios de a simplemente tengo que encontrar las raíces de este polinomio para encontrar los factores lineales de este polinomio necesito encontrar dos números cuyo producto sea menos 5 y cuya suma sea menos 4 esos dos números deben ser menos 5 y 1 así que los factores lineales de mi polinomio son lambda menos 5 y lambda + 1 las raíces del polinomio característico van a ser precisamente los valores de lambda que anulen estos factores así que las raíces de mi polinomio mis valores propias son lan de igual a 5 holanda igual a menos 1 ok y con esto ya encontramos los valores propios que le corresponden a nuestra matriz a muy bien así que los valores propios de a son precisamente lambda igual a 5 y lambda igual a menos 1 ahora esto solo es parte del problema porque estamos buscando tanto valores propios como vectores propios nosotros sabemos que esta ecuación se puede satisfacer con lambda igual a 5 o menos 1 así que ya sabemos los valores propios pero nos falta encontrar los vectores propios y así veremos en el próximo vídeo